꼭지점이 90도인 원뿔 회전하면 하나로 면이 하나인 입체도형
지난번의 뫼비우스의 띠를 발전시켜 조금 어렵더라도 `면이 하나인 도형'을 생각해보자. 먼저 뫼비우스의 띠를 가로로 자르면 자른 곳의 모양은 1차원의 선이다. 만약 자른 곳의 모양이 선이 아니라 직사각형(또는 정사각형)인 물체가 있다면 그것의 모양은 어떻게 생겼을까? 이런 의문이 면이 한 개인 입체도형을 발견하게 된 동기이다.
뫼비우스의 띠가 조금 두꺼운 가죽 띠라고 하면 자른 면의 모양은 길쭉한 직사각형이 된다. 이처럼 직사각형이 나오는 것처럼 정사각형 모양도 가능할 것이다. 단면이 정사각형인 뫼비우스의 띠를 가지고 가운데가 빈 모양이 아니라 꽉 채우면 도대체 어떤 모양이 나올까?
이것을 예쁘게 다듬으면 면이 하나인 입체도형이 탄생한다. 가운데를 채우면서 모양을 뾰족하게 한 뒤 이 입체도형의 면에 개미가 한 마리 기어가게 해보자. 그러면 뫼비우스의 띠와 마찬가지로 모서리를 지나지 않고도 모든 면을 지나 처음 출발했던 곳으로 되돌아올 수 있다. 따라서 이 도형은 면이 한 개인 입체도형이다. 이것은 미국의 교사 출신 목공예가가 처음 만들었다.
이 도형에 다른 재미있는 성질도 가지고 있다. 원뿔을 경사진 곳에서 굴리면 한쪽 방향으로 원을 그리며 구른다. 원뿔을 두 개를 마주보고 붙인 것은 오른쪽이나 왼쪽 등 한 방향으로 원을 그리며 구르며, 구는 직선으로 구른다. 그런데 면이 한 개인 도형은 좌우로 꿈틀거리면서 구르나 평균적으로는 볼 때는 구처럼 직선으로 구른다. 아래로 비틀거리며 구르는데 결국은 똑바로 내려가는 것이다.
면이 하나인 입체도형은 뒤뚱거리면서도 똑바로 구르는 성질 이외에 재미있는 성질을 한 가지 더 가지고 있다. 이 입체도형은 같은 모양의 다른 입체도형의 위를 구를 수 있다. 즉, 이 입체도형 두 개는 서로의 표면을 따라 구를 때 틈새없이 이가 맞는다. 이 입체도형을 4개, 8개, 16개씩 짝지워도 동시에 서로의 면을 따라 구를 수 있다.
이 입체도형은 전개도(그림1)를 통해 만들 수 있다. 또 꼭지점 쪽이 90도인 원뿔을 두 개 맞대어서 만들 수 있다(그림2). 이 때 두 개의 원뿔이 맞닿은 곳도 90도가 되기 때문에 회전에서 붙여도 빈틈없이 매끄럽게 이어지는 것이다.
