 무한의 개수를 셀 수 있을까? 무한의 개수를 셀 수 있을까? 짝을 짓는 방법으로 무한을 센다 
과자가 10개 있을 때, 1개를 먹으면 9개가 남는다. 2개를 더 먹으면 7개가 남는다. 이와 같이 유한의 세계에서 반드시 부분은 전체보다 작다. 그러나 무한의 세계에서는 부분이 전체와 같은 경우가 생긴다. 예를 들어, 짝수와 자연수를 생각해보자. 짝수는 분명히 자연수의 한 부분이다. 그러면 자연수의 개수는 짝수의 개수의 2배일까? 다음과 같은 대응을 생각해보자.
1 2 3 4 5 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2 4 6 8 10 …
각 자연수마다 그 수에 2를 곱한 수를 짝지으면 어느 쪽도 모자라지 않는다. 마찬가지 방법으로, 홀수의 개수와 자연수의 개수도 같고 3의 배수의 개수와 자연수의 개수도 같다. 이러한 방법으로 무한 집합의 개수를 세는 것은 19세기 독일의 수학자 칸토어가 생각해 낸 것이다. 당시까지 무한은 단지 유한보다 더 많은 것, 신비로운 것이라고 생각했기에 무한을 세고자 했던 그의 시도는 달에 우주선을 쏘아올린 것만큼이나 충격적인 일이었다. 토끼와 계수나무가 있던 달이 우주선을 만든 뒤에는 우리가 발을 디디고 설 수 있는 또 하나의 땅으로 변한 것처럼, 짝을 짓는 방법으로 무한을 셀 수 있게 된 뒤에는 무한도 유한과 마찬가지로 수학의 대상이 됐다. 무한의 세계는 우리가 알고 있던 상식을 버려야 이해된다. 무한 집합의 원소의 개수는 유한인 경우와 구별하기 위하여 개수라고 하지 않는다. 소금물에서 농도라는 말을 사용하는 것처럼 무한에서는 `농도'라는 말을 사용한다. 다시 말해 짝수의 농도, 홀수의 농도, 자연수의 농도는 모두 같다. 어린아이들이 수를 셀 때 곧잘 쓰는 짝짓기 방법으로 개수를 비교하는 그의 시도가 집합이라는 수학의 새로운 분야를 발견했다. 그의 생각을 따라가 자연수의 집합과 농도가 같은 또 다른 집합을 만들어보자. 얼마나 많이 만들 수 있는지 놀라게 될 것이다. |
| 2000.3.17 남호영 |
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