수학은 왜 어려운가?
을:그것은 사실입니다.
갑:그래서 왜 어려운지 생각해 봤습니다. 예를 들어 "이등변 삼각형의 두 밑각은 같다" 는 것을 증명하는 것을 배울 때, 선생님은 우선 삼각형을 그리십니다.
그리고는 난데없이 점선을 하나 더 긋고 그것이 꼭지각 A 의 이등분선이라고 하십니다. 그렇게 그리겠다는데야 할 말이 없죠.을:...
갑:그리고 나서 그 점선으로 원래의 삼각형이 나누어지면서 생기는 삼각형 ABD 와 ACD에서 AB 의 길이는 AC 의 길이와 같고, AD 는 자신과 같고, 각 BAD 와 각 CAD 도 크기가 같다고 하십니다. 그것은 모두 사실이니 인정할 수밖에요.
을:...
갑:그리고는, 따라서 삼각형 ABD 와 삼각형 ACD 는 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고, 그 사이에 끼인 각들도 같으니 앞서 나온 정리 즉, 삼각형의 합동조건에 의해 합동이고, 그러므로 대응각인 각 B 와 각 C 가 같다는 겁니다. 정말 훌륭하죠. 논리의 전개가 이렇게 완벽할 수 있을까? 주어진 조건과 앞에서 알아낸 사실들만 가지고 한 치의 빈틈도 없이. 학생들은 경탄의 눈으로 선생님을 바라봅니다.
을:비꼬시는군요.
갑:그렇습니다! 그렇게 훌륭한 사고의 과정이 눈앞에서 펼쳐져 나가는데 왜 이렇게 숨이 막히는 겁니까? 수학이 인간 정신의 위대한 작품이라는 것을 압니다. 그런데 어째서 미술 작품이나 음악 작품들과 달리 그것을 보고 있으면 가슴이 답답해지느냐 이겁니다.
을:다 보지 못하셨습니다.
갑:예?
을:빙산에 대해 아시지 않습니까?
갑:빙산?
을:그렇습니다. 빙산... 보이는 것보다 훨씬 많은 것이 안보이죠.
갑:그래서?
을:위에서 선생님이 말씀하신 내용은, 그 정리를 발견하고 증명한 사람이 했던 생각 전체에 비하면 아주 작은, 그것도 별로 중요하지 않은 일부에 불과합니다!
갑:뭐라고? 증명이 중요하지 않으면 뭐가 중요하단 말입니까?
을:생각해 보십시오. 맨 처음 이 정리가 나타났을 때, 실제로 어떤 일이 일어났겠습니까? 그 정리가 어딘가에서 갑자기 나타났겠습니까? 신이 증명하라고 주셨겠습니까? 아니죠. 인간에 의해서 "발견" 된 겁니다. 처음에 어떻게 발견됐겠습니까?
갑:음... 뭐, 이등변삼각형을 많이 보다 보니까...
을:그렇습니다! 이등변삼각형을 여러 개 그려 보고 여러 가지로 관찰했던 것입니다. 또는 지붕이라든지, 땅에 그려진 경계선이라든지, 피라미드라든지 하는 실제적인 모양을 관찰했을 수도 있겠죠. 어쨌든 그런 과정에서 이등변삼각형의 두 밑각이 항상 같다는 심증을 갖게 된 것입니다. 즉, 이등변삼각형의 두 밑각은 항상 같을 것이라는 "추측"을 하게 된 것이죠.
갑:그도 그렇군요. 우리는 교과서에 나와 있는 것을 이유도 모른 채 하나씩 읽고 있었는데...
을:그것이 첫 번째 잘못입니다. 교과서에 나온 정리들은 누군가 고심 끝에 "추측"을 했기 때문에 있을 수 있었던 것인데도, 마치 당연히 있는 것인 양 불쑥 제시하는 답답한 교과서 또는 선생님, 또한 그것이 어떻게 나온 것일지 의문을 가져 보지도 않고 그저 받아들이는 답답한 학생들이 수학을 답답하게 만든 것입니다.
갑:그럼 두 번째 잘못은 무엇입니까?
을:이제 말하겠습니다. 우선, 위에서 나온 것이 증명을 위해 사고(생각)을 하는 순서라고 생각하십니까?
갑:아니면?
을:이등변삼각형의 두 밑각이 같을 것이라는 것을 "추측"을 했습니다. 그리고 나서 그것이 틀림 없다는 것을 밝히려고 합니다. 처음부터 꼭지각의 이등분선부터 그었겠습니까?
갑:아니죠. 절대 그럴 수 없습니다. 위에서 나온 증명은 이미 뭐가 어떻게 돌아갈 지를 미리 아는 사람만이 할 수 있는 것입니다.
을:바로 그렇습니다. 이제 이 문제를 증명하려고 노력하는 "유클리드" 라는 사람이 어떻게 생각하나 봅시다.
유클리드: 여기 이등변삼각형 ABC 가 있다. 각 B 와 각 C 가 같아 보인다. 그런데 그냥 같다고 하면 프로타고라스의 후예들이 따지고 들테니 꼼짝 못하게 증명을 해 놓아야겠군. 그런데 어떻게 해야 각 B 와 각 C 가 같다는 것을 증명할 수 있을 것인가? 내가 알기로 평행선에 대한 동위각이나 엇각이면 되는데... 그건 안될 것 같군. 맞꼭지각으로 뭐 어떻게 안될까? 안되네. 그럼 다시, 각 두 개가 같다는 것은 어떻게 해야 되더라? 삼각형이 합동이면 서로 대응되는 각끼리는 같은데 그것을 한 번 써봐? 그럼 무엇과 무엇이 합동이란 말인가? 삼각형이 하나밖에 없는걸? 가만있자. 잘하면 되겠는데? 이놈의 삼각형이 종이로 되어 있다면 반으로 접으면 꼭 포개질 것 아닌가? 그렇다면 그 반쪽씩이 합동이라는 말이 아닌가? 좋다. 반으로 쪼개자. 그럼 이렇게 점선을 긋고... 삼각형 ABD 하고 ACD 하고 합동이라 이거지. 합동은 내 전문이지. SSS 아니면 SAS 아니면 ASA. 여기서는... 일단 선분 AB 와 AC 는 같지. 그리고... 뭐 또 같은 것 없나? 삼각형 ABD 하고 ACD에서 같은 것이라... 그렇지, 접은 선 AD 는 양쪽에 다 들어가니까 같다! 휴, 공짜로 하나 건졌네. 그럼 하나만 더! 두 변이 같으니까 나머지 한 변도 같거나 아니면 그 사이에 끼인 각이 같으면 되는데... 그건 잘 모르겠네? 이런 바보. 그냥 반으로 쪼갠다는 애매한 말을 쓰니까 그렇지. A에서 중선을 긋던지, 수선을 긋던지, 각의 이등분선을 긋던지 해야 그걸 써먹지. 지금 뭐 하나씩 같은 게 얼마나 중요한 건데. 자 그럼 어떡한다? 내가 제일 좋아하는 게 SAS 니까 각 A 의 이등분선을 그려서 각 BAD 하고 CAD 하고 같게 만들어 버리면? 됐다! SAS 합동! 이제 쓰기만 하면 돼.
갑:어쩐지, 처음부터 불쑥 각 A 의 이등분선을 긋는 게 뭔가 속는 것 같더라니. 결국 그건 맨 나중에 생각한 거구만. 그러고서 마치 무슨 신인 양 증명할 때는 맨 처음에 갖다 놓는다 이거지. 이건 완전히 "쇼" 입니다!
을:잘 보셨습니다. 증명 뿐만이 아니죠. 어떤 문제든 마찬가지입니다. 수학 책에 나와 있는 것은 완벽하고 아름다운, 비인간적인 체계이지만 그것이 있기 위해서는 보신 바와 같이 온갖 방법을 동원하여 이리도 해보고 저리도 해보다가 실패하고 다시 시작하는, 너무나 인간적인 사고의 과정이 있습니다. 이것이 물 속에 잠겨 있는 빙산의 뿌리처럼 눈에 안보이는, 진짜 수학입니다. 그리고 이것이야말로 우리가 배워야 할 "사고의 방법" 입니다. 다시 말해 증명이나 풀이 자체가 아니라 증명이나 풀이를 발견하는 방법을 배워야 하는 것입니다. 이런 것을 가르쳐 주지 않고 각의 이등분선부터 긋기 시작하기 때문에 학생들은 수학의 비인간적인 면만 보게 되고, 스스로 생각할 기회를 빼앗긴 채 그저 받아들일 뿐입니다. 그러니 답답한 것이 당연하죠.
갑:덕분에 문제가 수학 자체에 있다기보다 그것을 가르치고 배우는 방법에 있다는 것을 알았습니다. 하지만 왜 수학은 지금까지 몇 천년동안 그런 식으로 가르치고 배워 왔을까요? 그 몇 천년 동안 을씨와 같은 생각을 한 사람이 없지는 않았을 텐데도 계속 그렇다는 것은 수학 자체에 그럴 만한 어떤 이유가 있기 때문이 아닐까요? 안그랬다면 벌써 고쳐졌을 것 같은데요.
을:좋은 질문이십니다. 물론 이유가 있습니다. 그것이 수학을 가르치고 배우는 근본적인 어려움입니다. 그것은 다른 이야기이니 다음 편에서 하시죠.
