파스칼의 풀이
득점의 문제를 파스칼은 유명한 '파스칼의 삼각형'을 이용하여 풀었다. 파스칼의 삼각형이란 오른쪽 그림과 같이 임의의 항을 그 항의 바로 위의 행에 있는 두 수의 합과 같게 하여 삼각형 모양으로 수를 계속 써내려간 것을 말한다. 이 방법대로 파스칼의 삼각형을 만들어보자. 오른쪽의 삼각형에서 [가] 위에는 1 밖에 없으므로 두 수의 합에 해당하는 수는 1이다. [나] 위에는 1, 1이 있으므로 두 수의 합은 2이다. 또, [다]위에는 [나]와 1이 있으므로 두 수의 합은 2+1=3이 된다. 이와 같이 만들면 파스칼의 삼각형은 끝없이 계속 만들 수 있다.
그러면 파스칼은 득점의 문제에 이 삼각형을 어떻게 이용하였을까? 문제를 다시 한 번 보자.
"같은 실력을 가진 두 도박사 A와 B가 3판 2승제의 도박을 하다가 A가 1번 이긴 후 도박이 중단되었다. 이 때, 판돈은 어떻게 분배해야 하는가?"
문제에서 A는 1번 더 이겨야, B는 2번을 이겨야 완전히 이길 수 있다. 이 때, 1+2=3을 염두에 두고 파스칼의 삼각형을 보자. 3째줄에 있는 1, 2, 1에서 첫 번째 1은 A가 두 번 이기는 방법의 가지수(aa), 두 번째 2는 A가 한 번 이기는 방법의 가지수(ab, ba), 세 번째 1은 B가 두 번 이기는 방법의 가지수(bb)와 같다. 따라서 A가 이기는 경우는 (1+2)가지, B가 이기는 경우는 1가지이고, 판돈은 3:1로 분배하면 된다.
만약 5판 3승제라면, 9판 5승제라면, ... 이와 같이 게임의 수를 점점 늘려나가도 이 득점의 문제는 풀릴 것인가?
"5판 3승제의 게임을 생각해 보자. A와 B 가 게임을 하는데 A가 1번 이기고 게임이 중단되었다. 그러면 판돈은 어떻게 분배해야 하는가?"
baaa, aabb, abba, bbaa
abab, baba, baab, abbb,
babb, bbab, bbba, bbbb
페르마의 풀이대로 하면 a, b를 네 개 택하는 다음 16가지 방법 중 a가 2번 이상 나타나는 11가지 경우는 A가 이기는 방법이고, b가 3번 이상 나타나는 5가지 경우는 B가 이기는 방법이다. 따라서, 판돈은 11:5로 분배하면 된다.
이미 짐작했겠지만 판수가 늘어날수록 이 풀이는 매우 복잡해진다. 그러면 간편한 방법이 없을까? 파스칼의 풀이의 강점이 바로 여기에 있다. 처음 파스칼의 풀이를 일반화시켜보면 다음과 같다.
A와 B가 더 이겨야 하는 횟수를 각각 m, n이라고 할 때, A가 이기는 방법의 가지수는 파스칼의 삼각형의 (m+n)번째 줄에서 첫 번째 숫자부터 n개의 숫자의 합 S가지, B가 이기는 방법은 (n+1)번째 숫자부터 m개의 숫자의 합 s가지이다. 따라서 A와 B는 판돈을 S:s로 분배하면 된다.
이것을 위의 문제에 적용시키면 A는 2번 더 이겨야 하고, B는 3번 더 이겨야 하므로 파스칼의 삼각형에서 2+3=5번째 줄에서 A가 이기는 경우는 1+4+6=11가지이고, B가 이기는 경우는 4+1=5가지이다. 따라서 판돈은 11:5로 분배하면 된다.
