산포도 - 흩어져 있는정도 !편차의 합은 항상 0이므로 각각의 변량들의 어떻게 흩어져 있는지 알아보는데 도움을 주지 않는다. 이것을 의미있는 수로 바꾸려면 부호를 떼어내야 할 것이다. 그 방법으로 편차를 제곱하도록 하자.
수담이의 성적의 편차의 제곱의 합은
에서 28이다. 그런데 이것은 7과목에 대한 합이다. 따라서 28을 7로 나눈 값 4가 산포도로서의 의미가 있고, 이 값을 분산이라고 한다.
같은 방법으로 너울이의 분산을 구하여 보면
에서
이다. 그러면 수담이의 성적은 평균 80을 기준으로 하여 80-4=76(점), 80+4=84(점) 사이에 있을까? 그렇지 않다는 것이 확실하다. 수담이의 성적은
이므로 77점 이상 83점 이하의 범위에 있다. 그러면 분산이 4라는 것은 무엇을 뜻할까 ?
이므로 분산 4는 편차의 제곱의 합의 평균인 것이다. 따라서 각 변량이 평균을 기준으로 얼마나 흩어져 있는지 알려면 분산의 양의 제곱근, 즉 제곱하여 분산이 되는 자연수를 구해야 한다.
수담이의 경우에는 제곱하여 4가 되는 자연수, 즉 2이고 이것을 편차와 구별하여 표준편차라고 한다. 표준편차가 2점이라는 것은 평균인 80점에서 표준편차 2점를 더하고 뺀 범위, 78점 이상 82점 이하에 대부분의 변량이 속해있다는 뜻이다. 이것을 너울이의 경우에 적용하여 보자.
142=196, 152=225이므로 제곱하여 203.7이 되는 수를 약 14라고 하면, 표준편차는 14점이고, 너울이의 성적은 80-14= 76(점), 80+14=94(점) 사이에 있다. 수담이는 각 과목의 성적이 고른 반면 너울이는 각 과목의 성적이 고르지 않은 것이다.
이것을 물 속에서 숨 안쉬고 견디는 기록에 다시 적용하여 보자. 수담이네 반의 평균은 40초, 어머니 반의 평균은 42초이었다. 다음 표를 이용하여 표준편차를 구하여 보자.
| 계 급 값 | 도 수 | (편차)2×(도수) | ||
| 수담이네 반 | 어머니반 | 수담이네반 | 어머니반 | |
| 26 34 42 50 58 66 |
6 3 5 3 2 1 |
6 3 8 3 3 2 |
(-14)2×6=1176 (-6)2×3=108 (-2)2)×5=20 102×3=300 182×2=648 262×1=676 |
(-16)2×6=1536 (-8)2)×3=192 0 82×3=192 162×3=768 242×2=752 |
| 합 계 | 20 | 25 | 2928 | 3840 |
도수분포표에서는 각 계급에서 편차의 제곱의 합을 구할 때에 편차의 제곱에 도수를 곱하여야 한다. 각각의 분산은
이다. 122=144이므로 수담이네 반의 표준편차는 약 12점, 12.42=153.8에서 어머니 반의 표준편차는 약 12.4점이다.
따라서 수담이네 반과 어머니 반의 기록을 정확히 비교하면 전체적으로는 어머니들의 기록이 2초 더 길지만, 어머니들보다는 학생들이 기록이 더 고르다고 말할 수 있다.
