| [답변] 가비(加比)의 리(理)에 대하여 |
손인수 |
가비(加比)의 리(理)는 비가 같은 여러개의 분수식에서 분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 더하여 만든 분수식의 비가 처음의 분수식의 비와 같다는 것이지요. 즉
a_1/b_1=a_2/b_2=...=a_n/b_n이면,
a_i/b_i=(a_1+a_2+...+a_n)/(b_1+a_2+...+b_n)
(i=1,2,...,n)
이 성립하는 것을 뜻합니다. 비례식 a:b=c:d에 대해서는 a:b=a+c:b+d, a+c:b+d=c:d
이 되겠지요.
즉 "가비(加比)"는 '비(比)를 더한다(加)'는 뜻이 되지요. 그러한 정리(定理)(또는 법칙)라고 생각하면 되겠네요.
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| 작 성 일 : 1999년 06월 12일 |
첨부화일 : |
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| [답변] 비례식과 가비의 법칙 |
전춘배 |
이전 게시판에서 손인수 선생님이 답변하신 글을 좀 읽기 편하게 바꾸었습니다.
가비(加比)의 리(理)는 비가 같은 여러개의 분수식에서 분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 더하여 만든 분수식의 비가 처음의 분수식의 비와 같다는 것입니다. 즉
a_1 a_2 a_3 a_n
--- = --- = --- = ... = --- 이 성립하면,
b_1 b_2 b_3 b_n
a_i a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n
--- = ----------------------------- (i=1,2,...,n)
b_i b_1 + b_2 + b_3 + ... + b_n
이 성립하는 것을 뜻합니다. 비례식 a:b=c:d에 대해서는 a:b=a+c:b+d, a+c:b+d=c:d 이
됩니다.
즉 "가비(加比)"는 '비(比)를 더한다(加)'는 뜻이 되지요. 그러한 정리(定理)(또는 법칙) 을 바로 가비의 법칙 또는 가비의 리 라고 부릅니다.
문제를 푸실 때에는 가비의 법칙을 이용하여 바꾼 분모가 0 이 될 경우와 그렇지 않을 경우를 따져 가며 문제를 푸셔야 하는데 이것이 정말 중요합니다. 문자로 주어진 식은 문자가 적당한 값을 가지면 식의 값이 0 이 될 수도 있거든요. 이럴때는 가비의 법칙을 쓰지 않고 분모가 0 이 된다는 조건을 이용합니다.
대표적인 가비의 법칙의 예를 들어보겠습니다.
[보기] a/(b+c)=b/(c+a)=c/(a+b) 라 할 때, 이 식의 값은?
(풀이) 가비의 법칙을 이용하면 주어진 식은 (a+b+c)/{2(a+b+c)} 와 같습니다. 먼저 a+b+c 가 0 이 아니면 주어진 식은 1/2 입니다. 만약 a+b+c=0 이면 b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c 이니깐 a/(b+c)=b/(c+a)=c/(a+b)=-1 입니다. 따라서 식의 값은 -1, 1/2 입니다. //
주어진 비례식이 b/a=d/c=f/e 일때 가비의 법칙을 이용할 수도 있고 b/a=d/c=f/e=k (상수, 비례상수) 로 놓고 b=ak, d=ck, f=ek 를 이용할 수도 있습니다. 이 방법은 분수가 3 개 인데 등호가 2 개 이어시 식이 2개 밖에 안나오므로 =k 로 놓아 식을 하나 더 이용하는 방법입니다. 이 방법으로 위의 보기를 풀어 보실래요? 이 때에도 분모가 0 이 될때와 안될 때를 꼭 나누어 생각해야 합니다. 비례상수를 이용하는 다른 보기를 소개해 드리겠습니다. 풀어보세요.
[보기] x/2=y/3=z/5(=/=0) 일 때 (xy+yz-zx)/(x^2 - y^2 +z^2) 의 값은? (답은 11/20 입니다)
그리고 문자의 개수보다 식의 개수가 하나 적으면 주어진 조건은 대부분 비례식으로 바꾸어 생각합니다. 예를 한 번 들어 보겠습니다.
[보기] x+2y-3z=0 이고 2x-3y+z=0 이 성립할 때 (x+2y):(y+z):(3z+x) 의 값은?
(풀이) 적당히 더하고 빼면 x=z, y=z 를 얻습니다. 즉 x:y:z=1:1:1 이죠. 따라서 (x+2y):(y+z):(3z+x) = 3:2:4 입니다. //
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| 작 성 일 : 2000년 01월 09일 |
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역사, 용어, 유래