 역사, 용어, 유래
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| [질문] 이거 계속 물어봐서 죄송한데.. |
S.B.J |
계속 물어봐서 죄송한데요...
1차원은 선
2차원은 면
3차원은 부피
4차원은 부피+시간개념(맞나?)
로 알고 있는데요..
5,6,7,8,....차원은 도대체 뭐예요?
정말 모르겠어요...
부탁합니다..^^
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| 작 성 일 : 1999년 10월 24일 |
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| [답변] 차원 |
송영준 |
수학적으로 "차원" 이라는 것은 추상적인 개념입니다. 예를 들어 (x,y,z,u,v,w) 하는 식으로 6 개의 숫자로 표시되는 점들의 집합은 6차원 공간입니다. 그것이 꼭 실제로(물리적으로) 어떤 의미를 가져야만 되는 것은 아닙니다. 단지, 6 차원 공간에 대한 수학을 가져다 어떤 대상에 적용함으로써 그 의미를 부여할 수 있습니다.
좀 더 자세히 말하면, 어떤 공간(집합)이 있는데, 그 원소인 점을 정확히 나타내기 위해 몇 개의 숫자가 필요하느냐 하는 것이 차원입니다. 예를 들어 공의 표면은 몇 차원인가? 공은 3차원인 공간에 들어가 있는 도형이지만 그 표면에 있는 한 점을 나타내기 위해서는 두 개의 숫자 (위도와 경도)가 필요하므로 공의 표면은 2차원 공간입니다. 상상하기는 어렵지만, (x,y,z,u,v,w) 라는 여섯개의 숫자를 써야만 그 위의 한 점을 나타낼 수 있는 공간이 바로 6 차원 공간인 것입니다. 아니, 수학적으로는 (x,y,z,u,v,w) 라는 순서쌍들의 집합 자체가 6 차원 공간이며 6 차원 공간이란 그 이상도 이하도 아닙니다. 여기에 시간이니 공간 (수학의 공간과는 다른) 이니 하는 의미를 부여할 수 있지만, 그런 의미를 줄 수 없어도 차원이라는 수학적 개념은 변함이 없습니다.
예를 들어, 어떤 물체가 있을 때, 그 물체의 위치를 x,y,z 좌표로 나타낼 수 있고, 그 물체의 x,y,z 방향으로의 속력이 각각 u,v,w 라고 하면 (x,y,z,u,v,w) 라는, 6차원 공간상의 한 "점"을 사용하여 그 물체의 위치와 운동상태를 한꺼번에 나타낼 수 있습니다. 물체가 움직임에 따라 이 "점" 또한 6차원 공간에서 움직이면서 물체의 위치와 운동상태의 변화를 한꺼번에 반영합니다.
한마디로, 1차원은 선, 2차원은 면 하는 식으로 고정관념을 가질 필요가 없습니다. 그것은 차원이라는 수학적 개념을 적용한 하나의 예일 뿐입니다. 마치 "힘" 이라는 것이 벡터라는 수학적 개념을 적용한 하나의 예인 것처럼 말입니다. (벡터를 아시는지 모르겠는데)
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| 작 성 일 : 1999년 10월 25일 |
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| [질문] 차원에 관해... |
박미혜 |
고등학교 2학년 학생입니다.
차원에는 1차원,2차원,우리가 살고 있는 3차원이 있고 여기에 시간이 보태진 것이 4차원이잖아요.그렇다면 5차원,6차원은 뭐가 더 보태어 진 것인지 궁금합니다.그리고 현재 몇차원까지 밝혀져 있는지도 궁금합니다.
이것도 수학에 관한 질문 맞죠...(아닌가요?)
아!저번에 극한에 대해 여쭈어 봤는데요.전춘배님께서 두번씩이나 자세히 답변해 주셔서 감사했습니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 06일 |
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| [답변] 차원이란? |
전춘배 |
사실 차원에 대한 정의는 여러가지로 내릴 수 있는데 가장 쉬운 차원의 정의는 그 공간의 한 원소를 결정하는 독립된 변수의 개수로 정의내릴 수 있습니다.
예를 들어 공간상의 어떤 한 점을 나타내는데에는 적당한 좌표축을 만든다면 세개의 변수로 표현할 수 있습니다. 3차원 공간안에 있는 어떤 점도 x축, y축, z축 에 대한 위치만 안다면 정확하게 공간안의 위치를 결정할 수 있다는 생각입니다..
박미혜님이 말씀하신 4차원이란 3차원 공간에 시간이라는 독립된 변수를 추가한 공간을 말씀하신 것이라고 볼 수 있습니다. 이렇게 어떤 공간의 한 점을 결정하기 위해 필요한 독립된 변수가 몇개인가가 차원의 간략한 정의입니다.
과거, 현재, 미래를 생각하지 않는 공간은 그냥 3차원 공간이고 이러한 1차원적인 시간을 공간안의 점마다 덧붙여 생각하면 4차원 공간이라고 하겠습니다.
5차원 공간은 어떤 변수를 더 생각하는 가에 따라 달라지겠습니다. 예를 들어 어떤 꽃의 성장을 결정하는 요인이 햇빛, 물, 기후, 토양, 영양분이라면 꽃의 성장을 결정하는 공간은 5차원 공간이라고 할 수 있습니다.
현재 물리학에서 공간에 시간의 개념이 들어간 4차원 공간에 어떤 개념을 더 넣어 공부하는 지는 잘 모르겠지만 아마 생각하는 사람마다 중요하다고 생각되는 변수를 집어넣어 생각하리라 봅니다. 예를 들어 4차원에 있는 한 점의 온도를 더 생각한다면 이 공간은 5차원 공간이 되겠습니다.
수학에서의 차원에 대한 정의는 19세기 말 선분위의 점과 정사각형 안의 점이 일대일 대응을 하고(칸토르) 또한 연속함수에 의해 일대일 대응을 한다(페아노)는 사실이 알려지면서 종래에 막연히 사용되던 차원의 개념을 좀 더 명확하게 할 필요가 있어졌습니다. 또한 점집합론(Point Set Theory)이 발전하면서 다각형이나 다면체와 같은 간단한 도형 이외에 점들의 집합도 도형으로서 파악되기 시작했기 때문에 차원에 대한 명확한 개념이 등장해야 했습니다.
1913년 브라우어(Brouwer)는 뿌앙카레(Poincare)의 생각에 따라 차원을 정의하였으나 1922년에 유리즌(Uryson)이 좀 더 정확한 차원의 정의를 내렸고 이후 알렉산드로브(Aleksandrov)와 후레비쯔(hurewicz)에 의해 일반적인 차원의 정의가 내려집니다.
현재 수학에서 알려진 차원에 대한 정의는 르벡(Lebesque)차원, 귀납적차원, 정칙위상공간차원, 호몰로지차원, 코호몰로지차원등이 있는데 어떤 차원의 정의를 쓰던지 유클리드 공간인 점의 차원은 0차원이고 직선의 차원은 1차원, 평면의 차원은 2차원, 공간은 3차원입니다.
차원에 대한 연구는 다음 문제를 해결하기 위해서도 중요했는데 유클리드 공간안의 무리수점들의 집합의 차원은 0차원이지만 힐베르트(Hilbert)공간(?) 의 유리점들의 집합의 차원은 1차원이기 때문입니다. 좀 어렵죠?
그리고 송영준 선생님의 글을 참고하시면 더욱 좋겠습니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 11월 07일 |
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| [질문] |
dragon10 |
설명하신 부분에 토를 달게되어 죄송합니다.
설명하신 부분 중에~독립된 변수의 개수로 정의내릴 수 있습니다. ~
맞는 말씀이지만
이후에 꽃의 생장에 비유를 들어 이야기 하는 것은 잘못입니다
왜냐하면
기후, 토양등이 독립 변수가 아닐 수도 있기 때문입니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 08일 |
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| [답변] 차원... |
전춘배 |
물론입니다. 독립된 변수가 아닐 수 있습니다. 답변을 쓸때 기후, 토양, 등이 꽃의 생장에 관여하는 "독립된 변수라면" 이라는 조건을 추가했었어야 올바른 비유가 아니였나 생각합니다. 재미있는 예를 찾으려다 보니 이런 실수가 있었군요.. 지적해 주셔서 감사드립니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 08일 |
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| [질문] 이런 질문을 해도 될런지.. |
황유원 |
안녕하세요.
전.. 이번 대전 수학 전시회에 다녀왔는데..
궁금한게 몇가지 있어서요...
뫼비우스 띠에서 4차원 세계를 조금 설명해 주던데...
정확히 4차원 세계가 어떤 것인지 알고 싶네요..
지금 우리가 살고 있는 세상이 3차원이라고 하는데..
4차원 세계는 어떤 세상인지..
궁금합니다.. 꼭!! 알려주세요..
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| 작 성 일 : 2000년 07월 24일 |
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| [답변] 4 차원의 세계 |
전춘배 |
먼저 간단하게 0 차원은 점, 1 차원은 선, 2 차원은 평면, 3 차원은 우리가 사는 공간이라고 볼 수 있습니다. 그런데 4 차원 공간이라는 말은 많이 하는데 실제로 이러한 공간이 있는지 아리송할때가 많습니다. 그 이유는 3 차원적인 우리들이 그 이상의 차원을 상상하는 것은 어떻게 보면 무리일 수 있기 때문입니다.
사실 3 차원까지는 머리속으로 상상할 수 있지만 4 차원 그 이상에 대해서는 일단 상상을 접고 수식을 이용하는 연구가 대부분입니다. 상상할 수는 없을 지라도 수식을 통해 접근하는 것은 가능하기 때문입니다.
그러나 2 차원과 3 차원 공간의 특징을 살펴봄으로서 4 차원의 세계의 특징을 생각해 볼 수도 있는데 3 차원 공간에서는 일어나기 힘든 일이 많이 일어날 수 있다는 것을 미루어 짐작할 수 있습니다.
예를 들어 평면에 원을 그리면 원의 내부와 외부가 그린 원에 의해 나눠집니다. 이제 어떤 납작한(길이는 있지만 부피가 없는) 벌래가 원의 외부에 있다면 이 벌래는 원을 통과하지 않고서는 절대로 원 안으로 들어갈 수 없습니다. 그런데 3 차원 공간안에서 보면 이 벌레는 원을 통과하지 않고도 약간 원 위로 날아서 평면 위에 있는 원의 내부에 도착할 수 있습니다.
위와 같은 현상을 4 차원에서 표현하는 말로 '4 차원에 있는 달걀은 껍질을 깨지 않고 노른자를 꺼낼 수 있다' 또는 '축구공 안에 들어 있는 야구공을 축구공을 칼로 찢지 않고 꺼낼 수 있다' 고 이야기 합니다.
또한 3 차원 공간안에 들어 있는 평면을 사이에 두고 두 3 차원 공간이 이웃하고 있듯이 3 차원 공간을 사이에 두고 두 4 차원 공간이 이웃하고 있을 것이라고 생각할 수도 있습니다. 또는 3 차원은 4 차원 세계의 단면이다라고도 말합니다.
한편 우리가 사는 3 차원 세상을 잘 살펴보면 시간이라는 개념 때문에 4 차원적인 생각이 필요한 경우가 있습니다. 예를 들어 어제 눈 앞에 있던 컴퓨터와 오늘 눈앞에 있는 컴퓨터는 위치는 변하지 않았지만 놓여있는 시간은 다릅니다. 공간이나 운동을 연구하는 사람들 특히 물리학자들은 3 차원 공간에 1 차원적인 시간을 생각한 4 차원 공간을 주로 다루고 있다고 합니다.
진부한 글이 되었을 지도 모르겠습니다. 4 차원에 대한 좀 더 쉽고 자세한 내용은 전파과학사에서 펴낸 '4차원의 세계-초공간에서 상대성이론까지' 라는 작은 책자를 읽어 보시면 도움이 될 것입니다.//
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| 작 성 일 : 2000년 07월 27일 |
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| [질문] n차원이라는 것이 도대체.. |
허훈 |
수2에서 공간도형을 다루다 보니 어디서 n차원이란 말을 주워들었습니다..
3차원을 넘어서 n차원이라나..??
도대체 수학적으로 4차원 이상의 것들은 어떻게 표현하나요..?? 상상이 안가는데...
어떤 면접문제를 보니까 이런말도 있네요.. 4차원에서 구의 존재를 설명하여라.
이걸 도대체 어떻게 말할 수 있는 건가요???
흠.. 직선의 방정식이나.. 뭐 그런것들은 n차원이라도 만들면 만들겠지만야.. n차원의 공간이나 n차원의 좌표같은 것들은 상상하기 힘드네요.. 보통 머리로는 안되는 건가...??
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| 작 성 일 : 2001년 01월 23일 |
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| [답변] n 차원 |
whiz |
차원이라는 것은 별 것이 아니고,
서로 간섭하지 않는, 즉, 독립인 요소의 개수입니다.
2 차원을 평면좌표 (x,y) 로,
3 차원을 공간좌표 (x,y,z) 로 나타내듯이
n 차원은 n-공간좌표 (x1,x2,...,xn)
으로 나타내면 그만입니다.
2 차원 구(다른 말로 원이라고 부르는 것)의 방정식이 x2+y2=r2 이고,
3 차원 구의 방정식이 x2+y2+z2=r2 이듯,
n 차원 구의 방정식이 x12+x22+...+xn2=r2 입니다.
수학적 상상이란 알고 보면 별 것이 아닐 수도 있습니다.
n 개의 숫자의 나열이, n 차원 공간의 한 점을 나타내는 것입니다.
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| 작 성 일 : 2001년 01월 23일 |
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