확률과 통계| [답변] 항상 성립합니다. | 정연선 |
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표본의 크기나 유한 모집단이던 무한 모집단이던 상관없이 항상 성립합니다.
기대값의 성질에 의해서... |
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| 작 성 일 : 2001년 05월 28일 | 첨부화일 : |
| [질문] 제가 질문을 잘못드린거 같은데, 이 질문입니다. | 김경호 |
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또, 죄송합니다만, 제가 수학적 사고력이 짧아서....
기대값의 성질을 이용해도 잘 안돼요. 이것도 좀 알려주세요. |
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| 작 성 일 : 2001년 05월 29일 | 첨부화일 : |
| [답변] 모평균, 모분산, 표본평균, 표본분산 | whiz |
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FAQ 에 몇가지 문서가 있습니다.
질문에 대한 답은 아니지만, 참고해 보세요. 예를 들어봅시다... X = { a, b, c } 라는 표본공간이 있을 때 E(X) = (a+b+c) / 3 이라는 것은 알겠지요? 그럼 표본평균 X' 는 이미 평균인데, 왜 또 평균을 구하는 지 처음에는 황당하기도 합니다. 즉, 여기에서 E(X') 라는 것의 의미를 잘 알아야 원하는 사실을 이해할 수 있습니다. X' 라는 것은 X 에서 n 개의 표본평균이 이루는 분포입니다. 예를 들어 n = 2 라면 X' 는 X' = { (a+a)/2, (b+b)/2, (c+c)/2, (a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2 } 라는 얘기입니다. 따라서, E(X') 는 이 6 개의 값을 모두 더해서 6 으로 나누어야 합니다. 잘 보면, a, b, c 가 분자에 모두 4 번씩 나옵니다. (그럴 수 밖에 없는 것이 모두 12 개의 숫자가 분자에 나오고 그것들이 골고루 나오기 때문입니다) 따라서, E(X') = (a+b+c)/2 *4/6 = (a+b+c)/3 = E(X) 가 성립함을 압니다. 더 일반적으로는... X = { a_1, ..., a_k } 이고 이 중에서 n 개를 골라 X' 을 만든다면 X' = { (a_1 + ... + a_1)/n, ..., (a_k + ... + a_k)/n } 이 될텐데, X' 의 원소의 개수를(같은 것도 다르다고 세고) A 라 하죠. 이 때, X' 의 분포에 등장하는 수는 모두 A*n 개가 됩니다. 따라서 a_1, ..., a_k 는 각각 A*n/k 개씩 나오게 되지요. 따라서, E(X') = (a_1 + ... + a_k)/n * (A*n/k) / A = (a_1 + ... + a_k)/k = E(X) 가 항상 됩니다. 분산의 경우는 좀 더 복잡한 논법을 써야 하므로 문제가 됩니다. 한편, 기대값의 성질을 써서 이야기할 수도 있는 데, (앞서 어떤 분이 답변했던 것) X_1, ..., X_n 은 각 표본이라고 하면, X' = (X_1 + ... + X_n) / n 이다. 따라서, E(X') = (E(X_1) + ... + E(X_n))/n 인데, 한편, E(X_1) = ... = E(X_n) = E(X) 이므로, (표본을 하나 뽑아 평균을 구하는 것!) E(X') = E(X) 가 됩니다. 분산의 경우는 이런 식으로 구할 수가 없는 데, 덧셈이 나누어지지 않기 때문이지요. 이는 '공분산'의 개념을 배워야 할 수 있습니다. 그리고, n = 2 이고 X = { a, b, c } 일 때 V(X) 와 V(X') 을 한 번 직접 구해 보시기 바랍니다. 어쨌거나... 모든 n 에 대해서 성립한다는 것을 '증명'하기는 좀 귀찮습니다. |
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| 작 성 일 : 2001년 05월 29일 | 첨부화일 : |
