| [답변] 확률변수, 확률밀도함수 |
전춘배 |
확률을 공부할때는 어떤 시행중 특정한 사건에 대한 확률을 공부하게 됩니다. 예를 들면 '주사위를 한 번 던질때 1의 눈이 나올 확률' 이든지 '주머니 속에 흰 공 4개, 검은 공 3개가 들어 있는데 이 주머니에서 한개의 공을 꺼낼 때, 이공이 흰공일 확률' 등을 공부합니다.
이런 확률에 대한 공부가 끝나고 나면 확률분포를 공부하게 됩니다. 여기에서는 특정한 사건에 주목하는 것이 아니라 시행 중 나올 수 있는 모든 사건에 대한 각각의 확률을 조사하게 됩니다. 위에서 예를 가지고 보면 주사위를 한 번 던질 때 나온 눈의 수를 X라고 하면 이 X는 1,2,3,4,5,6의 값을 가질 수 있고 이 값을 가질 각각의 확률은 1/6이 됩니다. 이때의 X를 확률변수라고 합니다. 즉 변할 수 있는 각각의 값을 가질 확률이 결정되어 있는 변수를 확률변수라고 하는 것입니다. 확률변수는 대문자 X,Y,..를 주로 씁니다.
함수화의 입장에서 보면 정의역을 확률변수가 취할 수 있는 값의 집합으로 보고 치역을 확률변수가 이들 값을 취할 수 있는 확률들의 집합이라고 놓으면 하나의 대응을 얻을 수 있는데 이 대응을 확률변수 X의 확률분포라고 합니다. 위의 예제에서는 정의역이 {1,2,3,4,5,6}이고 공역은 확률이 가질수 있는 값의 집합이니깐 0에서 부터 1까지의 실수, 치역은 {1/6}이고 대응관계는 p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)=p(X=6)=1/6 으로 쓸 수 있습니다. 이 대응관계는 명백하게 함수의 개념과 일치합니다. 여기에서 p를 f로 쓰지 않은 것은 '확률(probability)'를 강조하기 위해서이지 않나 싶습니다. 이 대응관계를 막대 그래프로 나타내면 각 점에서의 확률은 각 막대의 길이가 됩니다.
확률변수중에서 취할 수 있는 값들이 위에서와 같이 뚝~뚝~ 떨어져 있는 것을 이산확률변수라고 하고 주어진 범위의 모든 실수값을 취할 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. 예를 들어 배차시간이 10분인 버스를 기다리는 시간을 확률변수 X라고 하면 X는 0에서 부터 10까지 모든 실수값을 취할 수 있습니다.
연속확률변수의 확률분포를 얻기 위해서는 몇가지 주위해서 봐야 할 사항이 있는데 연속확률변수가 한 값을 취할 확률은 0이라는 것입니다. 방금 든 예에서 버스를 정확히 5분 기다릴 확률은 0이라는 것입니다. 그러나 5분 이상 기다릴 확률은 느낌상으로도 1/2일 것이라고 생각되어질 것입니다. 이렇듯 연속확률변수에서는 확률변수가 취할 값마다의 확률이 0이므로 이산확률변수에서 했던 것처럼의 대응을 얻을 수 없습니다. 그러나 연속확률변수가 어떤 범위안의 값을 가질 확률은 구할 수 있었습니다. 이 점에 주목해서 연속확률변수의 확률분포를 생각할 수 있습니다.
연속확률변수 X의 확률분포를 얻으려면 X의 값이 어떤 구간안에 들어 있을 확률을 알 수 있으면 됩니다. 위의 예에서도 기다리는 시간이 1분 이상 3분 이하일 확률이라는지 5분이상 9분이하일 확률이라든지 이런 확률들을 알 수 있으면 되는 것입니다. 이러한 확률분포를 얻기위해 어떤 함수를 생각하고 이 함수로 둘러쌓인 면적을 확률로 쓰면 어떤가 하는 생각에서 출발한 것이 확률밀도함수라는 개념입니다. 즉 X의 확률밀도함수 f라는 것은 확률변수가 구간 [a,b]에 들어 있을 확률을 a에서 b까지 함수 f의 그래프와 x축으로 둘러쌓인 '면적'으로 확률을 주는 함수입니다. 확률밀도함수는 한점에서의 함수값은 별로 뜻이 없고 어떤 구간과 이 함수의 그래프로 둘러쌓인 부분의 넓이가 중요한 함수입니다. 확률밀도함수가 가져야할 조건이 이밖에도 몇가지가 더 있지만 중요한 것은 면적이 바로 확률이라는 점입니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 11월 13일 |
첨부화일 : |
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확률과 통계