| [답변] 확률밀도함수 |
송영준 |
확률밀도함수를 도입하는 과정에서 교육과정이 많은 문제점을 가지고 있는 것 같습니다. 철구님과 같은 의문은 당연한 것입니다.
먼저 상대도수를 생각해 보시기 바랍니다. 연속확률분포에서는 구간 (계급) 을 나누어 각 계급에 속할 확률(비율) 을 구합니다. 예를 들어
0 ..10 사이에 들어갈 확률 0.2
10..20 사이에 들어갈 확률 0.3
20..30 사이에 들어갈 확률 0.4
30..40 사이에 들어갈 확률 0.1
이것을 그래프로 그리면 상대도수 히스토그램 (이런 말은 교과서에 안나오지만) 이 될 것입니다. 그런데 구간을 더 세분하면 어떻게 될까요? 예를 들어
0 .. 5 사이에 들어갈 확률 0.05
5 ..10 사이에 들어갈 확률 0.15
10..15 사이에 들어갈 확률 0.13
15..20 사이에 들어갈 확률 0.17
20..25 사이에 들어갈 확률 0.18
25..30 사이에 들어갈 확률 0.22
30..35 사이에 들어갈 확률 0.06
35..40 사이에 들어갈 확률 0.04
와 같이 되어 세분할수록 상대도수의 값은 작아지고 무한히 잘게 세분하면 모든 지점에서 0 이 되어 버립니다. 반면 "밀도도수" 라는 것을 도입해 보겠습니다. 즉, (상대도수)/(계급의나비) 를 사용하는 것입니다.
0 ..10 구간의 밀도도수 0.02
10..20 구간의 밀도도수 0.03
20..30 구간의 밀도도수 0.04
30..40 구간의 밀도도수 0.01
과 같이 되는데 밀도도수의 값은 구간을 계속 세분해도 계속 작아지지는 않습니다. (계급의 나비가 줄어들기 때문에) 또한, 어느 구간에 속할 확률 (상대도수) 은 (계급의 나비)*(밀도도수) 로서 구할 수 있습니다.
이 밀도도수에 대해 계급을 무한히 잘게 나눈 것이 확률밀도함수라고 할 수 있습니다. 그러므로 확률밀도함수를 아주 폭이 좁은 직사각형들의 모임으로 본다면, 어느 구간에서 그 직사각형들의 넓이의 합, 즉 적분이 바로 그 구간에 들어갈 확률이라는 것을 알 수 있습니다.
좀 다른 방법으로 설명해 보겠습니다. 예를 들어, 사람의 키가 정확히 160cm 일 확률은 0 이지만, 160cm 에서 160.001cm 사이에 들어갈 확률은 0 이 아닐 것이며 그것을 그 구간의 길이 0.001cm 로 나눈 것은 그렇게 작은 값도 아닐 것입니다. 그 구간을 점점 작게 만들었을 때의 마찬가지로 하여 극한값을 구한 것이 160cm 에서의 키라는 확률변수의 확률밀도입니다. 즉, 확률밀도 f(x) 는
f(x) = P(x≤X<x+dx)/dx
이입니다. 좀 변형하면
f(x) = (P(X<x+dx)-P(X<x))/dx
이것으로 보아 f(x) 는 P(X<x) 를 미분한 것이라는 것을 알 수 있고 확률을 구할 때 왜 적분해야 하는지 이해하실 수 있으리라 생각됩니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 09일 |
첨부화일 : |
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확률과 통계