| [답변] 연속확률변수의 평균 |
whiz |
평면 R^2의 영역 D가 있을 때,
영역 D에서 정의된 함수 g의 평균은,
g를 적분한 것을, 1로 적분한 것으로 나누어 주면 됩니다.
알고 있겠지만, 이러한 원칙은 어디에서나 적용됩니다.
예를 들어, 함수 y=f(x)의 높이, 즉, y의 평균은
당연히 y=f(x)를 적분한 것을 1의 적분으로 나누어 줍니다.
int_a^b 1 dx = b-a 이니까,
y의 평균은 int_a^b f(x) dx / (b-a) 가 되지요.
잘 생각해 보면, 당연한 것입니다.
이제 연속확률변수로 주어지는 확률밀도함수 y=f(x)에 대하여,
함수가 만드는 영역은, (우리에게 관심있는 영역)
D = { (x,y) | a < x < b, 0 < y < f(x) }
이지요? (구간에서 등호는, 들어가나 안 들어가나 큰 지장이 없음)
여기에서의 확률변수 x의 평균은, 당연히,
x를 적분해서, 1을 적분한 것으로 나누어 주어야 합니다.
그런데, 문제는 적분할 영역 D가 2차원 영역이라는 거죠.
고등학교에서는 이러한 적분을 배우지 않습니다.
그것은, 이러한 적분이 어려워서는 아닙니다.
다만, 우리가 적분을 잘 하려면 치환적분을 알아야 하는데,
2차원 이상에서의 치환적분을 하려면,
2차원 이상에서의 함수, 벡터함수, 다변수벡터함수의 미분법을 알아야 하고,
또, 2차원 이상에서의 적분에 대한 이론들을 배워야 합니다.
아무리 잘 쓴 책도, 웬만한 책이 반 권이나 필요하기 때문입니다.
하지만 다행스러운 것은...
질문한 문제와 관련된 적분은 '아주' 쉽습니다.
(다른 적분은 이렇게 쉽지 않을 수도 있음)
그냥 적분을 두 번만 하면 되니까요.
아무튼
x의 적분 = int_a^b int_0^f(x) x dy dx
= int_a^b x f(x) dx
1의 적분 = int_a^b int_0^f(x) 1 dy dx
= int_a^b f(x) dx = 1
마지막에 이 값이 1인 이유는 확률밀도함수이기 때문인 것은 알겠죠?
따라서, x의 평균은 x f(x)를 적분한 것이 됩니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 23일 |
첨부화일 : |
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| [답변] 연속확률변수의 평균 |
송영준 |
아래에도 답이 있지만 좀 보충해서 설명하겠습니다.
평균이란 한마디로 "기대값" 입니다. 즉, "(상금)*(그 상금을 받을 확률)의 합" 인 것입니다. 여기서 "상금"이 x, "확률"이 f(x)dx, "합" 이 인테그랄이 되는 것입니다.
좀 더 구체적으로 생각하면, f(x) 의 그래프를 아주 좁은 직사각형들의 모임으로 보고, x 에서 x+dx 사이의 선분을 밑변으로 하는 직사각형의 넓이가 바로 확률변수 X 가 x 에서 x+dx 사이에 들어갈 확률임을 알면 이해할 수 있으리라 생각합니다. (이 부분에 대한 좀 더 자세한 내용이 이전 게시판에 있습니다. 바로 철구님에게 쓴 답변입니다.) 즉, X 의 기대값을 구하는 것이기 때문에 상금은 x 가 되고, 확률은 f(x)dx 가 되니 그것을 합하면, 즉 적분하면 기대값이 나오는 것입니다.
마찬가지로 X2 의 평균(기대값)을 구하려면 x2f(x)dx 를 적분하면 됩니다. 바뀌는 것은 상금이고 확률은 항상 f(x)dx 입니다.
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| 작 성 일 : 1999년 11월 23일 |
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확률과 통계