| [답변] 정규분포 |
전춘배 |
먼저 확률변수 X 가 성공 확률이 p 인 시행을 n 번 반복하는 이항확률변수일 때를 생각해보면 X=k 일 때의 확률 P(X=k)=nCkpk(1-p)n-k 이 됩니다.
그런데 이러한 확률의 계산은 n 이 작은 경우 파스칼의 삼각형을 이용하면 쉽게 계산할 수 있지만 n 이 커지면 계산하는 데에 상당한 시간이 걸리게 됩니다.
컴퓨터가 없었던 18 세기를 생각한다면 이러한 확률 계산에 들어가는 시간을 줄이기 위한 노력이 반드시 있었을 것이라고 생각이 드는데 그 시발점은 바로 드 메르(de Mere)라는 수학자라고 합니다.
그는 미적분학을 사용하여 p=0.5 일 때 n 이 커지면 이항분포가 간단하게 표현할 수 있는 연속밀도함수에 가까이 접근해간다는 것을 보였습니다.
그리고 드 무아브르(de Moivre)는 p=0.5 이고 n 이 상당히 큰 경우 드 메르가 찾은 연속밀도함수의 평균이 0 이 되고 표준편차가 1 이 되게 수정한 연속밀도함수를 찾게 됩니다. 그 결과 매끄럽고 대칭성을 가진 종모양의 곡선을 얻는데 드 무아브르는 그 곡선을 pi 와 e(자연대수) 를 써서 나타내었습니다. 이것이 바로 표준정규분포함수입니다.
드 무아브르는 표준정규분포가 p=0.5 를 가진 근사된 이항분포에 맞는다는 것을 증명했지만 사실 어떤 p 에 대해서도 성립합니다. 즉 이항분표는 정규분포로 바뀐다는 사실입니다.
실제로 이항분포에 관한 드 무아브르의 발견은 정규분포가 본질적으로 중요하고 많이 쓰이는 이유를 설명하는데 도움이 되는 중심극한정리의 특별한 예가 됩니다. 이것은 정규분포가 어느 곳이든지 존재할 수 있다는 것을 보여줍니다.
중심극한정리::작고 관련이 없는 많은 확률 효과들에 영향을 받는 자료는 대개 정규적으로 분포한다
정리하면 정규분표가 등장하게 된 이유는 이항분포의 계산을 쉽게 하기 위한 노력의 결과라고 생각됩니다.
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| 작 성 일 : 2000년 08월 13일 |
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확률과 통계