 확률과 통계
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| [질문] 정규분포, 표준정규분포 |
철구 |
연속확률변수 X 가 N(M,6^2) 에 따르면
새로운 확률변수 Z=(X-M)/6 는
N(0,1^2)에 따른다.
위글의 뜻을 모르겠습니다.
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| 작 성 일 : 1999년 12월 01일 |
첨부화일 : |
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| [답변] 정규분포의 표준화 |
전춘배 |
연속확률변수 X 가 N(M,62) 를 따른다는 것은 X의 확률밀도함수가 " {1/[루트{2pi}6]}어쩌구~' 라는 것입니다.
그런데 같은 구간에서 곡선이 다른 경우 즉 두 정규분포의 평균과 분산이 다른 경우에는 그 구간에서 각각의 분포에 따른 확률도 달라집니다. 따라서 매번 다른 정규분포를 생각하는 것이 힘들므로 표준화된 정규분포를 다루게 됩니다.
비슷한 개념으로 수능성적이 매년 평균과 분산이 다르지만 표준점수나 평균으로 부터 일정점수 이내에 드는 사람은 매년 비슷하다 같은 것을 생각하는 것과 비슷합니다.
그래서 연속확률변수 X 가 N(M,시그마2) 따를때 확률변수를 Z=(X-M)/시그마 를 이용하여 표준화된 정규분포 즉 표준정규분포를 만들고 이미 만들어 놓은 표를 사용하여 확률을 계산하게 됩니다. 이런 작업을 정규분포의 표준화라고 하구요...
이렇게 표준화하면 Z 는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 하게 됩니다. 이유는 E(Z)=E((X-M)/시그마)={1/시그마}E(X-M)={1/시그마}[E(X)-M])={1/시그마}[M-M])=0 이고 비슷하게 V(Z)=1인 것도 알 수 있습니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 12월 02일 |
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| [질문] 보충질문입니다. |
철구 |
보충질문
확률변수 X 가 정규분포일때,
P(a < X < b)의 확률을구할때
표준정규분포 에서
P{(a-m)/6 < (X-m)/6 < (b-m)/6 }
의 확률로 구하는 것과
위에 제시한 글과의 어떤관련성이 있는지
설명해 주시면 감사하겠습니다.
전춘배선생님의 답변 방금보고 다시 수정해서 올립니다.
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| 작 성 일 : 1999년 12월 02일 |
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| [답변] 표준정규분포 |
전춘배 |
P(a < X < b) 를 구할때 P{(a-m)/6 < (X-m)/6 < (b-m)/6 } 으로 바꾸어 계산하는 것이 바로 표준화된 정규분포를 이용해서 확률을 계산하는 것입니다.
질문에 대한 답으로서 P(a < X < b) 의 X는 평균이 m이고 표준편차가 6인 정규분포를 하는 확률변수이지만 Z=(X-m)/6 를 이용해 표준화 시키면 P{(a-m)/6 < Z < (b-m)/6 } 이 되는데 여기서 Z는 평균이 0 이고 표준편차가 1인 정규분포를 하는 확률변수입니다.
따라서 P(a < X < b) 이나 P{(a-m)/6 < Z < (b-m)/6 } 이나 값은 같지만 각 변수가 따르는 정규분포함수가 다르다는 것 밖에 차이점이 없습니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 12월 02일 |
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| [질문] 정규분포,포준정규분포 |
철구 |
도서관 전산실이 미어터져 이제야 다시 올립니다.
전춘배 선생님 답변 진심으로 감사드립니다.
그런데 정말로 궁금한것은
연속확률변수 X가 N(60,2^2) 에 따르고
연속확률변수 Z=(X-60)/2 가 표준정규분포 N(0,1^2)에
따릅니다.
그렇다고 해서 확률 P(57< X < 64)이
확률 P( -1.5 < Z < 2 ) 와 같다는 보장은 없는것 아닌가요.
저도 막연히 답답하기만 하고 무엇이 궁금한지 잘모르겠습니다.
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| 작 성 일 : 1999년 12월 02일 |
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| [답변] 표준화와 치환적분 |
전춘배 |
철구님 혹시 치환적분을 아시는지...
X가 N(60,2^2) 를 따를때 P(57< X < 64)는 구간 57에서 64까지 복잡하게 생긴 어떤 함수(N(60,2^2) 에 해당하는 확률밀도 함수)를 적분해서 얻습니다.
그런데 이 적분을 할 때 변수를 Z=(X-60)/2 로 치환하게 되면 구간은 -1.5 와 2로 바뀌게 되고 피적분 함수도 N(0,1^2)에 해당하는 확률밀도 함수로 바뀌게 됩니다. 여기서 적분을 할 때 변수를 적당히 치환하여 제대로 적분했다면 치환적분을 해서 얻은 값이 원래의 적분값과 다르지 않다는 원리가 있다라고 생각하시면 되겠습니다.
제가 고등학교 교과서를 보니 치환적분은 수2에서 다루고 통계는 수1에서 나오기 때문에 교과서에서는 철구님이 고민하시는 부분에 대해 설명하기가 힘들지 않았나 생각합니다. 혹시 아직도 잘 이해가 안가신다면 치환적분을 공부하신 다음에 다시 한 번 이부분에 대해서 생각하시면 바로 이해하실 줄로 압니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 12월 02일 |
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