| [답변] 이항분포의 평균, 분산 |
전춘배 |
좋은 방법이라고 할 수 있을지 모르겠는데 만약 학생들이 다음과 같은 사실을 받아들인다면 다른 증명방법이 있는 것 같습니다.
먼저 확률변수 X1, X2,..., Xn, 에 대해서 다음이 성립합니다.
(1) 평균 E(X1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)
(2) 이 확률변수들이 서로 독립이라면 분산 V(X1+X2+...+Xn)=V(X1)+V(X2)+...+V(Xn)
증명은 n=2일때만 하면 되니깐 그리 어려운 증명이라고 보기 힘들지만 두 확률변수의 결합확률밀도함수를 설명해야 하니깐 여기에 약간 어려움이 있습니다. 그러나 결합확률밀도함수를 설명하지 말고 그냥 E(aX+b)=aE(X)+b를 설명하면서 자연스럽게 확장해도 될 것 같습니다. 분산의 경우는 n=2일때 해보면 독립조건때문에 증명이 잘 됩니다.
이제 이항분포를 생각해보면 어떤 사건이 일어날 확률이 p인 독립시행을 n번 반복할 때 이 사건이 일어날 회수를 X라고 합니다. 여기서 Xi를 n번 시행 중 i번째 시행에서 이 사건이 일어나면 1, 안일어나면 0을 갖는 확률변수라고 하면 X=X1+X2+...+Xn임을 알 수 있습니다. 그리고 1-p=q라고 하면 E(Xi)=0*q+1*p=p 이고 V(Xi)={02*q+12*p}-{p2}=p-p2=p(1-p)=pq 입니다.
Xi들은 서로 독립이므로 위의 정리를 사용하면,
E(X)=p+p+...+p=np
V(X)=pq+pq+...+pq=npq
임을 알 수 있습니다.//
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| 작 성 일 : 1999년 11월 17일 |
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확률과 통계