우리는 중고등학교 수학책에서 분산이나 표준편자를 구할때 편차의 제곱의 합을 n(변량의 개수)으로 나눈다고 가르치고 있습니다.
그런데 통계학책을 뒤적여 보니 n-1로 나눈다고 되어 있더군요.
이유는 안나와 있구요.
설에 의하면
자유도와 관련되어있다. 간격이기 때문에 하나가 빠진다, 여러가지 이야기가 있던데
구체적으로 알고 싶습니다.
알려주세요.
작 성 일 : 1999년 09월 25일
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[답변] 분산을 구할 때 n-1 로 나누는 이유
안대영
수학을 꼼꼼하게 잘 하시는 분 이군요..
질문하신 내용은 대학통계에서 다룹니다.
추정에 관한 이야기를 해야 합니다. 표본통계량을 가지고 모수를 추정합니다. 모평균은 알기가 어렵지요. 따라서 표본을 여러번 뽑아서 모평균을 추정합니다.
어떤 집단을 대표하는 값들을 생각해 봅시다. 평균이외에도 최빈값(빈도수가 가장 많은 것), 중앙값 등이 있어요. 평균을 최빈값이나 중앙값보다 더 좋게 생각하는 것은 평균은 모든 값을 고려한 값이기 때문이지요..
이처럼 어떤 집단의 특성을 나타내는데 어떤 것이 더 좋은 추정량인가를 생각합니다. 추정량의 조건으로 불편성, 효율성, 일치성, 충분성 등을 이야기 합니다.
불편성은 추정량의 기대치가 모수의 값과 같게 되는 추정량입니다.
n-1 로 나눈 표분분산은 모분산의 불편추정량입니다.
n 으로 나눈 것은 불편추정량이 아니라 편의 추정량이 됩니다.
통계학 개론 정도의 책이면 증명 방법이 나옵니다. 대학에서 통계학을 배워야 이해하기가 쉽습니다.
작 성 일 : 1999년 09월 25일
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[질문] 표본분산계산시 표본갯수에서 -1를 하는 이유는?
꿈
표본에 대한 분산계산시 모집단의 특성을 반영하기 위해 n으로 나누지 않고 n-1로 나누어 주는 정확한 이유를 알고 싶은데요
작 성 일 : 2000년 08월 16일
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[답변] 표본분산계산시 표본갯수에서 -1를 하는 이유
전춘배
수학사랑 저널 2000 년 4 월호(20호) 에 실린 양인웅(fifit@mathlove.org) 선생님의 글을 소개해 드리겠습니다.
'분산(variance)' 은 평균을 가준점으로 자료들이 얼마나 퍼져 있는지를 재는 측도입니다. 평균을 원점으로 간주했을 때 각 관측값들의 상대적인 위치를 '편차(deviation)' 라고 부르며 '관측값-평균' 으로 정의됩니다.
그런데 편차의 합은 항상 '0' 이 되기 때문에 편차의 절대값을 취하거나 제곱을 합니다. 편차에 절대값을 취한 것의 평균을 '평균절대편차(mean absolute deviation)' 라고 부르며 제곱한 것의평균을 '평균제곱편차(mean squared deviation)' 라고 부릅니다.
그런데 평균절대편차는 계산의 어려움때문에 상당히 제한적으로 사용되고 평균제곱편차도 실제 자료분석을 할 때에는 잘 사용되지 않습니다.
자료분석을 할 때 일반적으로 사용하는 분산에서는 제곱 편차의 합을 'n-1' 로 나눈 값을 사용합니다. 이것을 '불편분산(unbiased variance)' 이라고도 합니다. 그러면 왜 'n-1' 로 나눈 값을 사용하는지 궁금하죠? 그것은 바로 '자유도(degree of freedon)' 때문입니다.
분산을 계산할 때에는 반드시 평균을 먼저 계산하게 되고 평균을 알고 나면, 원래 자료 중의 한 값을 잃어도 정보는 전혀 손실되지 않습니다. 다시 말해 평균을 알고 나면 자료 중에 어느 한 값은 항상 잉여정보가 되고 따라서 자유도는 '관측수-1' 이 됩니다.
따라서 평균을 계산할 때에는 자유도가 '관측수' 이고, 분산을 계산할 때는 자유도가 '관측수-1' 이 됩니다.
그런데 관측수가 커지면 관측수를 사용하든 자유도를 사용하든 별차이가 생기지 않습니다. 다만 자유도 개념을 기초로 한 분산이 관측수를 기초로 만든 평균제곱편차보다 수리적으로 우월한 점이 있기 때문에 통계학에서는 주로 자유도를 이용한 분산을 사용하고 학교에서는 간편하게 관측수를 이용한 평균제곱편차를 분산으로 사용하고 있을 뿐입니다.//
작 성 일 : 2000년 08월 17일
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[질문] 추가질문
꿈
추가질문
관측치 보다 관측치-1이 수리적으로 우수하다고 하셨는데 수리적으로 우수한 이유는 무엇입니까?
작 성 일 : 2000년 08월 17일
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[답변] 추가 질문 답
전춘배
제가 알기로는 관측치-1 을 이용한 표본분산에 대한 표본분포는 정규분포하는 모집단의 모분산의 추론에 유용하게 쓰이는데 표본분산에 관계되는 분포로 카이제곱 분포가 있기 때문입니다..
자세한 것은 통계학 책의 정규모집단에서의 표본분포 부분을 보시거나 양인웅 선생님 fifit@mathlove.org 께 메일을 드려 보세요.//
확률과 통계
