확률과 통계
[질문] 산포도,분산 철구
안녕하세요.
분산을 편차의 제곱의 평균을 이용해서 구합니다.
제곱하는것보다는 편차에 절대값을 취해 평균을 구해서
나타내면 될테데 더 복잡하게 제곱을 했습니까?
무슨 특별한 이유라도 있는지요.
작 성 일 : 1999년 11월 11일 첨부화일 :
 
[답변] 평균편차와 분산, 표준편차 전춘배mailto:jcbout@mathlove.org
어떤 수학적인 개념이나 대상이 정의되고 나면 이 대상이나 개념이 어떤 성질을 가지고 있는지 연구하게 됩니다. 이 개념이나 대상이 좋은 성질을 가지고 있는가 그렇지 않은가는 평가하는 사람에 따라 틀려지지만 그래도 많은 사람들이 '좋다'라고 생각하는 대상이 있어서 많이 연구되어지는 것이 있고 그렇지 못하고 몇 사람에 의해 연구되다가 사라지는 개념들도 있습니다.

지금부터는 X를 n개의 변량을 나타낸다고 보셔도 되고 확률변수를 아신다면 확률변수로 보셔도 되겠습니다.

이제 E(X)=m을 X의 평균이라고 하면 평균편차는 편차의 절대값 |X-m|의 평균인 E(|X-m|)으로 정의되고 분산은 편차의 제곱의 평균인 E({X-m}2)로 정의됩니다. 둘 다 모두 변량 또는 확률변수가 평균으로 부터 흩어진 정도를 말해주는 산포도이지만 사람들이 관심있어 하고 더 좋아하는 개념이 바로 분산, 이것의 음이 아닌 제곱근인 표준편차입니다.

이유는 제가 생각해 볼 때 E(|X-m|)를 다루려면 X가 m보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나누어 생각해야 하는데 . 즉 X가 m보다 클 때는 E(|X-m|)=E(X-m), 작을 때는 E(|X-m|)=E(-X+m)로 나누어 생각해야 합니다. 즉 편차를 다 음이아닌 수로 만들기 위해서죠...

그러나 조금 있다 배우면 아시겠지만 분산의 경우는 이렇게 경우를 나눌 필요가 없이 E({X-m}2)=E(X2-2mX+m2)=E(X2)-{E(X)}2 으로 변형됩니다. 즉 분산을 제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 것으로 계산할 수 있다는 성질을 알 수 있습니다. 그리고 나중에 배우시겠지만 대부분의 분포(정규분포를 말합니다)는 평균과 '분산'만 가지고 완전히 알 수 있습니다. 그래서 분산을 '좋다'라고 말하고 많이 공부하는 것 같습니다.

그러나 E(|X-m|)도 좋은 성질을 가지고 있는데 어떤 수 a에 대해서도 E(|X-m|)는 E(|X-a|)보다 작거나 같다는 성질입니다. 즉 변량과 어떤 수와의 차이의 평균을 가장 작게해주는 수는 바로 평균임을 알 수 있습니다.//
작 성 일 : 1999년 11월 12일 첨부화일 :
 
[답변] 표준편차 나그네
저는 수학에 대해서 잘은 모르지만 예전에(학생시절)
궁금해서 이곳 저곳 알아본 결과로는(정확한지 모르겠음)
절대값 기호가 있으면 미분 적분을 이용해서 이론을 전개하는
데 매우불편하기 때문에 사용하지않는 것으로 알고 있음.
작 성 일 : 1999년 11월 12일 첨부화일 :
 
[답변] 표준편차 최수일mailto:choisil@mathlove.org
전춘배님 글을 잘 읽었습니다. 저도 이 부분에서 학생들의 질문을 많이 받고 있습니다. 그러나 아직 확실한 결론을 얻지는 못했습니다만 선생님의 마지막 부분에 약간의 문제점이 있어서 글을 올립니다.
변량과 어떤 수와의 차이의 평균을 가장 작게해주는 수는 평균이 아니고 중앙값입니다. 그것은 절대값의 그래프를 생각해보면 쉽게 알 수 있습니다. 자료의 개수가 홀수일 때는 한 가운데 하나의 중앙값이 생기고 그래프가 그 부분에서 뾰족하게 됩니다. 짝수일 때는 가운데 두 값 사이의 임의의 점이 중앙값이 되고 그래프가 x축에 평행하게 됩니다. 어쨋튼 최소는 중앙값에서 형성이 됩니다.
그러면 평균은 어떤 때에 최소성을 가지는가? 하는 것을 생각해볼 수 있는데 그것은 바로 E((X-a)^2)의 계산에서 이차함수가 발생하고, 이 이차함수가 최소인 순간이 바로 X=m일 때라는 것입니다. 아래로 볼록한 포물선의 꼭지점이죠. 그래서 대표값으로 중앙값을 쓰지 않고 평균을 취한다면 산포도로서는 분산을 쓰는 것이 이치상으로 합당하다는 것입니다.
이런 생각은 아직 확실히 정리된 것은 아니고 그냥 제 나름대로의 생각을 적었을 뿐입니다. 통계학과에 물어보면 금방 해결될 수 있는 문제 같은데 게을러서 그 짓을 못하고 맨날 이렇게 추측만 하다가 세월이 흐르는 군요.
작 성 일 : 1999년 11월 12일 첨부화일 :

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