| [답변] Schwarz 부등식 |
전춘배 |
위에서 linearly independent 라고 하셨는데 이 말은 확률변수 X, Y 가 독립이라는 뜻을 의미하는 것이라 생각됩니다. 맞는지 궁금하구요... 그리고 E(X,Y) 는 E(XY) 가 아닌지도 궁금한데요 만약 그렇다면 적어 주신 명제는 성립하지 않는 것 같습니다. 한쪽 방향이 성립하지 않습니다.
왜냐햐면 X, Y가 독립이라면 E(XY)=E(X)*E(Y) 가 성립해서 E(XY)^2 = E(X)^2*E(Y)^2 이 성립하지만 반대로 E(XY)^2 = E(X)^2*E(Y)^2 이 성립한다고 해서 X, Y 가 독립이지는 않습니다. 반례로는 확률변수 X 가 1/3 확률로 -1, 0, 1 의 값을 갖는다고 하고 확률변수 Y=X^2 이라고 둡니다. 그러면 E(XY)=E(X^3)=E(X)=0 이니깐 E(XY)^2 = E(X)^2*E(Y)^2 = 0 이 성립합니다. 그러나 분명히 X 와 Y 는 서로 독립은 아닙니다.
흔히 확률, 통계과정에서 나오는 Schwarz 부등식이라면 확률변수 X, Y 에 대해 E(XY)^2 < = E(X^2) *E(Y^2) 이 아닌가 합니다. 이때 등호가 성립하는 조건은 Y=0 이 될 확률 P(Y=0) 이 1 이거나 적당한 상수 a 에 대해 P(X=aY)=1 이 성립하는 것입니다. 혹시 알고싶으신 문제가 이것이라면 적당한 증명 과정을 올려 드리겠습니다.
그리고 대부분 부등식에서 등호가 성립하는 경우를 살펴보는 것은 부등식을 증명하는 과정을 잘 살펴보아 처음 부등호가 나오는 부분을 잘보면 될 것 같습니다.//
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| 작 성 일 : 2000년 06월 26일 |
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확률과 통계