확률과 통계
[질문] 고등학교 통계문제입니다. 고영훈mailto:01414@hanmail.net
둘레의 길이가 12 인 원모양시계위의 한 점을 바늘 끝이 가리키고 있다.
0 의 눈금으로부터 동점 P 까지 시계방향으로 회전한 호의 길이를
X (0 ≤ X ≤ 12) 라고 할 때, X 의 회전한 호의 길이를 X 라고 하면,
X 의 기대값을 구하여라.
(단, 바늘끝이 원주 위의 어느 곳을 가리키는 곳도 같은 정도로 기대되며,
시계바늘은 하나만 있는 것으로 가정한다.)

아시는분 답변 부탁드리겠습니다.
작 성 일 : 2000년 11월 06일 첨부화일 :
 
[답변] 시계바늘 위치의 기대값 whiz
얼른 봐도 답은 6 아닙니까?

굳이 풀어보자면...

X 는 이른바 '연속확률변수'가 됩니다.
X 가 취할 수 있는 길이는 0 부터 12 까지의 모든 실수가 되기 때문이죠.

어쨌거나, 연속확률변수의 기대값을 구하려면,
이 변수에 해당하는 확률밀도함수를 구해야 합니다.

확률변수 X 와 확률밀도함수 f(x) 에 대하여
P(a ≤ X ≤ b) = intab f(x) dx
가 성립합니다. (확률밀도함수의 정의를 기억하세요.)

그런데, P(a ≤ X ≤ b) = (b-a)/12 가 됩니다.
0 의 눈금으로부터 호의 길이가 a 이상 b 이하일 확률은
전체 길이 중에서 b-a 를 차지하기 때문에, 구할 수 있는 거죠.

즉, (b-a)/12 = intab f(x) dx 가 되고,
양변을 b 로 미분하면 (a 를 상수로 보고)

1/12 = f(b), 즉, f 는 구간 [0, 12] 에서 정의된 상수함수입니다.

E(X) = int012 x f(x) dx
= int012 x/12 dx = 6
이 됩니다.
작 성 일 : 2000년 11월 10일 첨부화일 :

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