수학사랑 Q & A (확률과 통계)

확률과 통계

[질문] 정규확률밀도함수의 총합이 1이라는 것을 적분으로 증명?

학생

안녕하세요?
수학에 관심이 많은 학생입니다.
고등학교 통계부분에 보면 정규 확률밀도 함수의 표현이
exponential 함수의 x^2 승으로 되어 있는 것을 볼 수 있는데요,
확률이론상(?) 전체 면적의 합은 1이 되어야 한다는 것은 알겠는데, 그 식을 "실제로 적분"하면 1이된다는 사실을 증명할 수가 있나요?
(즉 exponential 함수의 x^2을 적분하는 방법이 있나요?)
아시는분있으면 답변부탁드립니다.
그럼.

작 성 일 : 2001년 04월 11일

첨부화일 :

[답변] int_0^무한 e^(-x^2) dx

whiz

e^(x^2) 이 아니고...

e^(-x^2) 은 초등함수로 적분이 안 됩니다만,
I = int_0^무한 e^(-x^2) dx 는 답을 알고 있습니다.

최대한 거칠게 말하자면,
I^2 = (int_0^무한 e^(-x^2) dx) (int_0^무한 e^(-y^2) dy)
뒤 쪽식이 x 와 무관하므로 적분기호 안으로 집어넣으면,

I^2 = int_0^무한 int_0^무한 e^(-x^2 -y^2) dx dy

x = r cos t, y = r sin t 라 두면,
(주어진 범위 - 1 사분면 - 는 r >= 0, 0 <= t <= pi/2 이다.)
dx/dr dx/dt
dy/dr dy/dt
의 행렬식의 값이 r 이다.
따라서,

I^2 = int_0^무한 int_0^(pi/2) e^(-r^2) r dr dt
= pi/2 (-1/2) [ e^(-r^2) ]_0^무한
= pi/4

바로 이런 이유 때문에, 정규분포를 나타내는 함수는
root(2/pi) e^(-x^2) 으로 잡는 거지요.

Liouville 에 의하면,
수학자란,
int_0^무한 e^(-x^2) dx = pi/4 가 당연해 보이는 사람
이라고 정의됩니다 (물론 농담이지요)

작 성 일 : 2001년 04월 11일

첨부화일 :

[질문] 여전히 잘모르는 부분이 있거든요..ㅠㅠ

학생

안녕하세요?
감사합니다. 님의 답변글 잘 읽어 보았습니다.
인터넷에 이렇게 유용한 사이트가 있음에 감사합니다.

그런데 님의 설명에서 여전히 잘모르는 부분이 있어서 이렇게 다시 질문드립니다.
님께서 말씀하신 내용을 제 나름대로 정리한 것을 참조해서 답변해주시면 감사하겠습니다.
그럼 수고하세요.

작 성 일 : 2001년 04월 11일

첨부화일 :

[답변] 2 변수 함수의 치환적분 - 수정함

whiz

x 가 [0,무한], y 가 [0,무한] 의 범위에 있으면
1 사분면을 말합니다.

x = r cos t, y = r sin t 라 치환하면
(극좌표치환이라고 말합니다)
반지름 r 이고 각이 t 인 변환을 말하죠.

그러한 원을 그려보면,
r 이 [0,무한], t 가 [0, pi/2] 임을 알 수 있습니다.
(첨부화일에서 [0,무한] 두 개와 계수 pi/2 로 썼는 데,
그것이 일단 틀렸습니다.)

이때, dx dy 라는 적분요소를,
새로운 변수 dr dt 로 '치환적분'을 합니다.
치환적분을 할 때, r dr dt 가 되는 이유는

FAQ 1 및 FAQ 2 에 있습니다. 한 번 읽어 보십시오.

아무튼 int_0^무한 e^(-x^2) dx = root(pi/4) 가 됩니다.
따라서, x = root(2) t 라 치환하여,
int_0^무한 e^(-x^2 /2) dx = root(pi/2) 가 됩니다.
int_(-무한)^무한 e^(-x^2 /2) dx = root(2pi) 가 되죠.

따라서, 1/root(2pi) e^(-x^2 /2) 을 확률밀도함수로 잡습니다.
(제가 전에 틀렸더군요.)

관리자 주 : g(z) = int_0^z e^(-x^2) dx 에서 g(oo) 을 계산합시다.
아래의 방법은 Jacobi 행렬에 대한 지식이 없어도 쓸 수 있는 방법입니다.

f(x) = int_0^1 e^(-x(1+t^2)) / (1+t^2) dt 라고 둡니다.
따라서, f'(x) = - int_0^1 e^(-x-xt^2) dt, 즉,
f'(x) = - e^(-x) int_0^1 e^(-xt^2) dt 이 되고, xt^2 = u^2 로 치환하면,
f'(x) = - e^(-x)/root(x) int_0^(root x) e^(-u^2) du = - e^(-x)/root(x) g(root x) 가 됩니다.

양변을 0 부터 s 까지 적분하면,
f(s) - f(0) = - int_0^s e^(-x) / root(x) g(root x) dx 가 되고,
root x = v 로 다시 치환하면,
f(s) - f(0) = - 2 int_0^(root s) e^(-v^2) g(v) dv
= - 2 int_0^(root s) g'(v) g(v) dv
= g(0)^2 - g(root s)^2
이 됩니다.

f(0) = pi/4, g(0) = 0 이므로,
pi/4 - f(s) = g(root s)^2 이 됩니다. s --> oo 로 보내면 되는데,
0 < f(s) <= e^(-s) int_0^1 1/(1+t^2) dt = pi/4 e^(-s) 이므로,
lim f(s) = 0 을 얻게 되어 원하는 사실이 증명됩니다.

작 성 일 : 2001년 04월 11일

첨부화일 :