| [답변] 수학적 귀납법 |
전춘배 |
수학적 귀납법에 대해서 말씀드리겠습니다. 수학적 귀납법은 대체로 자연수에 대한 어떤 공식이나 사실을 증명할 때 자주 쓰입니다.
잠깐 살펴볼 것은 수학적 귀납법은 일반적인 귀납법과는 약간 다르다는 점입니다. 국어시간에 배운 대로 추론에는 연역법과 귀납법이 있습니다. 연역법은 가정에서 부터 논리적인 단계를 거쳐 결론을 유도하는 것이고 귀납법은 여러 구체적인 사례를 조사하여 어떤 결론은 얻는 방법입니다.
그런데 수학에서는 이런 귀납법은 별로 쓰이지 않습니다. 예를 들어 1+2+3+...+n={n(n+1)}/2 라는 공식이 있습니다. 이 식에 n=1 을 넣어보면 1={1*2}/2 가 되니깐 공식은 맞고, n=2 를 넣어보면 1+2={2*3}/2 가 되어 공식은 맞습니다. 계속해서 n=3,4,5,...10 까지 넣어보아도 역시 공식은 성립합니다. 처음 10개의 자연수에 대해서 위의 공식이 성립한다고 해서 임의의 자연수에 대해서도 위의 공식이 성립한다고 말할 수 있을까 생각하면 그렇지 않을 것입니다. 즉 10개의 사례로 부터 1+2+3+...+n={n(n+1)}/2 이 임의의 자연수 n 에 대해서 성립한다고 말할 수는 없습니다. 누가 n=500 일 때에도 성립하냐고 물어보면 또 n=500 일때 맞는지 확인해야 하는 어려움이 있습니다. 요약하자면 구체적인 사례를 조사하는 것은 문제를 확인하는 방법이 될 수는 있지만 문제를 증명하는 것은 안됩니다.
이 문제를 마음에 두시고 도미노게임을 비유로 들어 설명해 보겠습니다. 도미노 블럭 10개를 잘 놓았다고 해 봅시다. 그러면 이 10개의 블럭이 실패없이 잘 쓰러진다는 것을 알기 위해서는 1번(블럭)이 넘어지면 반드시 2번(블럭)도 넘어지고 2번이 넘어지면 3번도 넘어지고, ... , 9번이 넘어지면 10번이 넘어진다는 9가지 사실을 알 수 있어야 됩니다. 마찬가지로 블럭이 100개가 있으면 99가지 사실을 알아야 도미노가 실패없이 잘 쓰러진다는 것을 알수 있습니다. 그러나 블럭이 무한개(자연수만큼) 있다고 상상해 봅시다. 끝이 없는 도미노라고 생각하셔도 됩니다. 그러면 이 도미노가 잘 쓰러질려면 무한개의 사실을 알아야 합니다. 사람은 무한개의 사실을 알 수 없기 때문에 이런 방법으로 생각하면 잘 안되는 경우가 많습니다.
이제 방법을 달리하여 다음과 같은 사실을 안다고 합시다.
"어떤 블럭이 쓰러지면 반드시 그 다음 블럭이 쓰러진다" 또는 "k번째 블럭이 쓰러지면 반드시 k+1 번째 블럭은 쓰러진다"
이 이야기는 도미노를 세울때 잘 쓰러지게 세웠다는 사실을 아는 것이랑 같습니다. 어쨌든 이 사실을 안다면 이 도미노를 쓰러트리기 위해서는 1번 블럭만 넘어트리면 된다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 1번 블럭이 쓰러지만 위의 사실에 의해서 2번 블럭도 쓰러지고 2번이 쓰러졌으니깐 3번도 쓰러질 것이고 계속 .. 계속.. 무한개의 도미노가 잘 쓰러질 것입니다. 즉 어떤 구체적인 사실을 증명하지 않고 도미노의 본질적인 성질을 증명하여 도미노가 반드시 쓰러짐을 증명한 방법입니다. 이것이 바로 수학적 귀납법의 쓰임을 잘 보여주는 이야기 입니다. 다시 정리해 보면 1번 블럭을 쓰러트리고 "k번째 블럭이 쓰러지면 반드시 k+1 번째 블럭은 쓰러진다"는 사실을 알고 있다면 도미노는 잘 쓰러집니다.
이제 처음에 쓴 공식으로 돌아오겠습니다. 1+2+3+...+n={n(n+1)}/2 이 모든 자연수 n 에 대해서 성립한다는 것을 보이려면 어떻게 해야 할까요? 우선 n=1 일때 공식이 잘 성립한다(쓰러진다)는 것을 알아야 합니다. 그리고 "n=k 일 때 이 공식이 성립하면(이것을 가정하고) n=k+1 일때도 이 공식이 성립한다(이것을 결론으로 얻어야합니다)" 라는 사실을 알아야(증명해야) 합니다. 이제 수학적 귀납법을 이용해서 증명을 해보도록 하겠습니다.
[문제] 1+2+3+...+n={n(n+1)}/2 이 모든 자연수 n 에 대해서 성립함을 증명하시오.
(증명) n=1 일 때 좌변은 1 이고 우변은 (1*2)/2=1 이니깐 위 공식은 n=1 일 때 성립합니다. 이제 다음 사실만 증명하면 됩니다.
"n=k 일 때 이 공식이 성립하면 n=k+1 일때도 이 공식이 성립한다"
이 사실을 증명하려면 가정에 의해 n=k 일때는 이 공식이 성립하니깐 1+2+3+...+k={k(k+1)}/2 라는 사실을 이용할 수 있습니다. 이때 결론을 얻기 위해 1+2+3+...+k+(k+1)={(k+1)(k+2)}/2 가 성립하는지만 살펴보면 됩니다.
좌변은 가정을 이용하면 1+2+3+...+k+(k+1) = {1+2+3+...+k}+(k+1) = {k(k+1)}/2 +(k+1) = {k(k+1)}/2 +2*(k+1)/2 = {k(k+1)+2(k+1)}/2 = {(k+1)(k+2)}/2 가 되어 n=k+1 일때도 위 공식이 성립함을 증명하였습니다.(증명끝)
수학적 귀납법을 이용한 다른 문제들도 교과서에 많이 나와 있으니 한번 공부해 보시고 여전히 궁금하신 것이 있으시면 어떤 점이 궁금하신지 다시 질문해 주세요.//
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| 작 성 일 : 2000년 01월 11일 |
첨부화일 : |
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수학적 귀납법