수열, 급수, 점화식, 순서도
[질문] 이런 수열도 있나요? 이정빈mailto:jblstar@hanmail.net
제가 수열문제를 풀다가 이상한 규칙을 가진 수열을 발견했는데..선생님한테 물어보니까 나중에 배울거라면서 안가르켜줘요..그런데 먼저 꼭 알고 싶어서 이렇게 질문을 올립니다. 이 수열의 이름은 있는지, 어떻게 일반항 등을 구할 수 있는지 좀 알려주세요.

제가 구한 수열은요...

먼저 제 1항이 -1 이에요. (이제부터 이수열의 n번쨰항은 a(n)이라고 쓸게요.)
그리고 제 2항은 1항에 1.02를 곱하고 빼기 1을 한 값이에요.
그리고 제 3항은 2항에 1.02를 곱하고 빼기 1을 한 값이에요.

이렇게 계속해서 n번째항은 그 전 항의 값에 1.02를 곱하고 1을 뺀 값이 나옵니다.

제가 대충 식을 세워 봤는데요...a(n) = a(n-1) x 1.02 - 1
이렇게 까지는 맞는 것 같은데...이렇게 세워봤자 n의 수가 커지면 어떻게 해야되는지 대책이 안섭니다.^^;;

물론 계산기로 하니깐 잘 되더군요..그런데 수식을 이용해서 a(n)을 구하는 법이나 합 등을 구하는 방법을 알고 싶습니다. 유도과정도 있음 더욱 좋겠구요..^^;;

하여튼 제가 구하고자 하는 값은 a(10)의 값인데, 공식같은 것이 없다면 이 값을 구하는 방법이라도 설명해 주세요..

그럼 안녕히 계쎄요~
작 성 일 : 2001년 12월 26일 첨부화일 :
 
[답변] 점화식 a(n+1) = p a(n) + q whiz
점화식 a(n+1) = p a(n) + q 꼴을 푸는 방법을 한가지 소개하려고 합니다.
사실 가장 쉬운 방법인데, 왜 이렇게 안 푸는 지 이해가 안 될 정도입니다만...
대입하면 되기 때문이죠.

a(2) = p a(1) + q
a(3) = p a(2) + q = p (p a(1) + q) + q = p^2 a(1) + pq + q
a(4) = p a(3) + q = p (p^2 a(1) + pq + q) + q = p^3 a(1) + p^2 q + pq + q
...
이 정도 되면 짐작이 될 것입니다.

a(n) = p^(n-1) a(1) + (q + qp + qp^2 + ... + qp^(n-2))
= p^(n-1) a(1) + q(1 - p^(n-1))/(1-p) (단, p 가 1 이 아닐 때...)

(p 가 1 이면 a(n) = a(1) + (q+q+...+q) = a(1) + (n-1) q 가 되어 짐작한 대로임)

다른 방법들도 너댓개 더 있지만,
별로 자연스럽지도 못하고, 괜히 외워야 한다는 느낌을 줍니다.
작 성 일 : 2001년 12월 26일 첨부화일 :

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