| [답변] sum_{k=1}^n k^p |
관리자 |
아래에 sum_(k=1)^n k^p 를 써두었습니다.
sum k^1 = 1/2 n + 1/2 n^2
sum k^2 = 1/6 n + 1/2 n^2 + 1/3 n^3
sum k^3 = 1/4 n^2 + 1/2 n^3 + 1/4 n^4
sum k^4 = -1/30 n + 1/3 n^3 + 1/2 n^4 + 1/5 n^5
= 1/30 n(n+1)(2n+1)(3n^2 +3n-1)
sum k^5 = -1/12 n^2 + 5/12 n^4 + 1/2 n^5 + 1/6 n^6
= 1/12 n^2 (n+1)^2 (2n^2 +2n-1)
sum k^6 = 1/42 n - 1/6 n^3 + 1/2 n^5 + 1/2 n^6 + 1/7 n^7
= 1/42 n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n+1)
...
보시다시피 쉽게 찾아지는 규칙들이 있습니다. (스스로 찾아보세요)
일반적으로, sum k^p = 1/(p+1) sum_(j=0)^p b_j [p+1, j] n^(p+1-j)
으로 표시가 되는데, [n, r]은 이항계수 n C r 을 말하고,
b_j 는 변형된 베르누이 수 (Bernoulli number) 로,
x e^x/(e^x -1) 을 테일러전개하여 x^n 의 계수를 구한 뒤 n! 을 곱한 것입니다.
x/(e^x - 1) = sum_(n=0)^(oo) B_n x^n / n!
으로 정의되는 베르누이 수와 비교하면,
b_n = B_n (n이 1 이 아닐 때), b_1 = 1 + B_1 이 됩니다.
x e^x/(e^x - 1) = x + x/(e^x - 1) 이기 때문입니다.
참고로, B_n 의 값은 n 이 3 이상의 홀수일 때는 0 이 됩니다.
위의 붉은 식에서 양변에 -x 를 대입한 뒤, 두 식을 빼주면,
x /(e^x - 1) - (-x)/(e^(-x) - 1)
= sum_(n=0)^(oo) 2 B_(2n-1) x^(2n-1) / (2n-1)!
이므로, -x = sum_(n=1)^(oo) 2 B_(2n-1) x^(2n-1) / (2n-1)!
임을 알 수 있기 때문입니다.
특히 B_1 = -1/2 임을 알 수 있습니다.
짝수일 때의 B_n 의 값은 다음과 같습니다.
B_0 = 1, B_2 = 1/6, B_4 = - 1/30, B_6 = 1/42, B_8 = - 1/30, B_10 = 5/66,
B_12 = - 691/2730, B_14 = 7/6, B_16 = - 3617/510, ...
이 식도 역시, 붉은 색의 식에서,
x = (x + x^2/2! + x^3/3! + ...) (B_0 + B_1 x/1! + B_2 x^2/2! + ...)
을 얻고, 양변을 전개하여 계수를 비교함으로 얻을 수 있습니다.
특히, 점화식
[m+1, 1] B_m + [m+1, 2] B_(m-1) + ... + [m+1, m] B_1 + [m+1, m+1] B_0 = 0
이 성립합니다. (여기에서, [n, r] 은 이항계수 nCr 을 말함)
B_0 = 1 임은 위의 계수비교에서 쉽게 알 수 있고,
예를 들어, m=2 일 때,
3 B_2 + 3 B_1 + B_0 = 0 에서 B_2 = 1/6 을 얻습니다.
이 베르누이 수는, A = sum_(k=1)^(oo) 1/k^(2m) 값과도 관련이 있음이
잘 알려져 있습니다. (m 은 1 이상의 자연수)
A = (-1)^(m-1) (2 pi)^(2m) B_(2m) / (2 * (2m)!) 입니다.
예를 들어, m=1 일 경우,
sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 = (2 pi)^2 B_2 / (2*2!) = pi^2/6
은 고등수학에서 널리 알려져 있습니다.
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| 작 성 일 : 2000년 10월 06일 |
첨부화일 : |
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1p+2p+3p+…+np