 수열, 급수, 점화식, 순서도
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| [질문] 수열인데요.. a_(n+1)=(a_n + 2) / (a_n + 3) 이것 좀 풀어 주세요... |
김선구 |
안녕하세요?
회로망을 공부하다가 나온것인데... 제 수학 실력으로는 도저히... 알 수가 없어서 이렇게 올립니다...
위 식이 맞는 표기법인지 몰라서, 말로 풀어서 다시 씁니다.
즉,
" 이번 항은 전항에 2를 더한 값을 전항에 3을
더한 값으로 나눈 값과 같다 "
입니다.
참, 초항 a_1 = 1 이고, a_0 는 정의 되지 않는 것 같습니다.
a_2 = 3/4 , a_3 = 11/15 , a_4 = 41/56 이런 식입니다.
계산기로 풀어보니, 어떤 값으로 수렴하는 것 같긴한데, 금방 유효자리가 넘쳐서 19번째 항부터는 구할 수가 없었습니다.
참고로 a_18 = 4168755811 / 5694626340 이고,
a_19 = 0.7320508076 입니다.
일반항을 구할 수 있는지 알고 싶고요,
수렴한다면, 어떤 값으로 수렴하는 지 알고 싶습니다.
고수님들의 답변 기다립니다.
회로도는 당연히 필요 없을 것 같아서 생략합니다.
그럼...
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| 작 성 일 : 2003년 03월 27일 |
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| [답변] |
puzzlist |
일반항을 구하려면 일단 양쪽의 형태를 비슷하게(?) 만들어야 합니다.
1/(a_(n+1)+k) = p + q/(a_n+k) 가 되는 p,q,k를 찾아보세요.
그 다음은 수식이 복잡해져서 생략. 그렇지만 김선구 님 혼자 힘으로도 충분히 일반항을 찾을 수 있을 것입니다.
극한값은 굳이 일반항까지 알 필요는 없습니다.
엄밀하게는 수열 {a_n}이 수렴한다는 것을 먼저 증명해야 하지만, 양쪽의 a_n, a_(n+1)를 수렴값 x로 바꾼 x = (x+2)/(x+3) 을 풀어서 구하면 됩니다.
그리고 이 식을 만족하는 x는 두 개가 나올 텐데, 어느 쪽이 옳은지를 음미하는 과정도 필요합니다.
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| 작 성 일 : 2003년 03월 27일 |
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| [질문] 감사합니다. |
김선구 |
감사합니다. 더분에 수렴하는 값을 찾았습니다.
root(3)-1 이값으로 수렴하더군요...왜냐하면, 저항회로라서
양의 값이 나와야 하니까요...
근데 일반항은 포기 했습니다. 써주신 식을 가지고 쫙 곱해서
계수 비교해보았는데, k값이 0이 나오는 바람에 더이상 진척이 없습니다....p, k, q 모두 유리수이죠? 그럼 계수 비교해도 될 것 같기도 하고, 아님, 다른 방법이 있는 것 같기도 하고,,,휴...어제 밤부터 한 숨도 못잤습니다.. 암튼 반 만이라도 해결이 되어서 다행입니다... 그럼...
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| 작 성 일 : 2003년 03월 27일 |
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| [답변] 나머지 반의 답변입니다. |
djhim |
아래에서 다른 분이 일반항에 대한 힌트와 수렴값을 구하는
방식을 가르쳐주셨군요.
이젠 다른 방식으로 접근해보도록 하겠습니다.
x = (x+2)/(x+3) 의 두 근을 p,q 라고 합시다.
그럼 수열의 양변에서 p를 뺐을 때
a_(n+1)-p = (1-p)(a_n-p)/(a_n +3) -(1)
마찬가지로 양변에서 q를 빼면
a_(n+1)-q = (1-q)(a_n-q)/(a_n +3) -(2)
가 됩니다.
이제 (1)/(2) 를 해보면
(a_(n+1)-p)/(a_(n+1)-q)
= (1-p)/(1-q)*{(a_(n+1)-p)/(a_(n+1)-q)}
=> b_(n+1) = (1-p)/(1-q) b_n
그럼 이제 b_n을 구할 수 있겠죠.
그럼 당연히 a_n 도 구할 수 있습니다.
나머진 해보세요. 완전 계산 문제입니다.
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| 작 성 일 : 2003년 03월 27일 |
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