| [답변] 테일러 전개 |
송영준 |
테일러 전개는 근본적으로 함수를 다항식으로 근사시키려는 것입니다. 예를 들어 x=0 근처에서 f(x) 를 "일차식" a + bx 로 근사시키려 한다고 합시다. 어떻게 해야 가장 좋은 근사일까요? 정답은 다음과 같습니다.
두 함수에 0 을 대입했을 때 같아야 하므로 f(0) = a
한번 미분하여 0 을 대입했을 때 같아야 하므로 f'(0)=b
즉, a=f(0), b=f'(0) 으로 하면 가장 좋은 근사입니다. 실제로 이것은 f(x) 의 그래프가 y 축과 만나는 점에서의 접선의 방정식입니다.
여기서 더 나아가, x=0 근처에서 f(x) 를 "이차식" a + bx + cx2 으로 근사시키려면?
0 을 대입하여 같아야 하므로 a = f(0)
미분하여 0 을 대입하여 같아야 하므로 b = f'(0)
두번 미분하여 0 을 대입하여 같아야 하므로 2c = f''(0)
즉, a, b 는 아까와 같고 c = f''(0)/2 로 하면 됩니다. 이렇게 하면 일차식으로 근사시켰을 때보다 넓은 범위에서도 상당히 그럴듯한 근사식이 됩니다.
이런 식으로 x=0 근처에서 f(x) 를 점점 고차의 다항식으로 근사시키면 원래 함수와의 오차가 점점 줄어듭니다.
실제로 ex 를 가지고 해 보면,
ex = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ---
라고 놓고 양변에 0 을 대입하면
1 = a0
미분하여 0 을 대입하면
1 = a1
다시 미분하여 0 을 대입하면
1 = 2a2
이런 식으로 n 번 미분하여 0 을 대입하면
1 = n!an
즉,
ex = 1 + x + x2/2 + x3/3! + ---
아래 그림에서 빨간 그래프가 ex 의 그래프이고, 초록, 파랑, 분홍의 순서로 1차, 2차, 3차의 근사다항식입니다.
무한번 미분할 수 있는 함수는 이런 일을 무한히 계속할 수 있습니다. 그것이 테일러 전개입니다. (x=0 만이 아니라 임의의 수 근처에서 할 수 있습니다.)
다항식이란 가장 계산하기 쉬운 함수이기 때문에, 테일러 전개를 사용하면 편리할 때가 많습니다. 그 예로 ex 의 테일러 전개식에 x=1 을 대입하면 바로 e 의 근사값을, 쉽게 구할 수 있습니다. π 같은 것도 이런 식으로 근사값을 구합니다.
|
| 작 성 일 : 1999년 07월 26일 |
첨부화일 : |
|
값 계산하기